問題文
ブラッグ反射と電子の運動エネルギー 問題文
一格子間隔が d d d m m m e e e
加速された電子は波動としての性質をもち、そのド・ブロイ波長 λ \lambda λ h h h p p p λ = h p \lambda = \frac{h}{p} λ = p h θ \theta θ n n n n = 1 , 2 , 3 , ⋯ n=1, 2, 3, \cdots n = 1 , 2 , 3 , ⋯
2 d sin θ = n λ 2d \sin \theta = n\lambda 2 d sin θ = nλ いま、電位差 V V V θ \theta θ 0 0 0 sin θ = 1 9 \sin \theta = \frac{1}{9} sin θ = 9 1 n = 1 n=1 n = 1
続いて、入射角を sin θ = 1 3 \sin \theta = \frac{1}{3} sin θ = 3 1 V V V V ′ V' V ′ n = 1 n=1 n = 1 V V V V ′ V' V ′ V ′ V \frac{V'}{V} V V ′
制約
m = 9.1 × 10 − 31 m = 9.1 \times 10^{-31} \ \text{kg} m = 9.1 × 1 0 − 31 kg e = 1.6 × 10 − 19 e = 1.6 \times 10^{-19} \ \text{C} e = 1.6 × 1 0 − 19 C h = 6.6 × 10 − 34 ⋅ sh = 6.6 \times 10^{-34} \ \text{J}\cdot\text{s} h = 6.6 × 1 0 − 34 J ⋅ s d = 3.3 × 10 − 10 d = 3.3 \times 10^{-10} \ \text{m} d = 3.3 × 1 0 − 10 m
入力形式
求めた電位差の比 V ′ V \frac{V'}{V} V V ′ p q \frac{p}{q} q p p × q p \times q p × q 1000 1000 1000
解説
電子加速とド・ブロイ波長の関係
電位差 V V V e V eV e V m m m p p p p 2 2 m \frac{p^2}{2m} 2 m p 2
e V = p 2 2 m ⟹ p = 2 m e V eV = \frac{p^2}{2m} \quad \Longrightarrow \quad p = \sqrt{2meV} e V = 2 m p 2 ⟹ p = 2 m e V したがって、電子のド・ブロイ波長 λ \lambda λ
λ = h p = h 2 m e V \lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2meV}} λ = p h = 2 m e V h この関係式から、ド・ブロイ波長 λ \lambda λ λ ∝ 1 V \lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}} λ ∝ V 1
1回目のブラッグ反射（電位差 V V V
1回目の測定では、電位差 V V V λ \lambda λ n = 1 n=1 n = 1 sin θ = 1 9 \sin \theta = \frac{1}{9} sin θ = 9 1
2 d ⋅ 1 9 = 1 ⋅ λ ⟹ λ = 2 d 9 2d \cdot \frac{1}{9} = 1 \cdot \lambda \quad \Longrightarrow \quad \lambda = \frac{2d}{9} 2 d ⋅ 9 1 = 1 ⋅ λ ⟹ λ = 9 2 d 2回目のブラッグ反射（電位差 V ′ V' V ′
2回目の測定では、電位差 V ′ V' V ′ λ ′ \lambda' λ ′ n = 1 n=1 n = 1 sin θ = 1 3 \sin \theta = \frac{1}{3} sin θ = 3 1
2 d ⋅ 1 3 = 1 ⋅ λ ′ ⟹ λ ′ = 2 d 3 2d \cdot \frac{1}{3} = 1 \cdot \lambda' \quad \Longrightarrow \quad \lambda' = \frac{2d}{3} 2 d ⋅ 3 1 = 1 ⋅ λ ′ ⟹ λ ′ = 3 2 d 波長の比と電位差の比の計算
2つの状態における波長の比 λ ′ λ \frac{\lambda'}{\lambda} λ λ ′
λ ′ λ = 2 d 3 2 d 9 = 3 \frac{\lambda'}{\lambda} = \frac{\frac{2d}{3}}{\frac{2d}{9}} = 3 λ λ ′ = 9 2 d 3 2 d = 3 ここで、波長と電位差の関係式 λ = h 2 m e V \lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}} λ = 2 m e V h
λ ′ λ = h 2 m e V ′ h 2 m e V = V V ′ \frac{\lambda'}{\lambda} = \frac{\frac{h}{\sqrt{2meV'}}}{\frac{h}{\sqrt{2meV}}} = \sqrt{\frac{V}{V'}} λ λ ′ = 2 m e V h 2 m e V ′ h = V ′ V 両辺を2乗して整理します。
( λ ′ λ ) 2 = V V ′ ⟹ 3 2 = V V ′ ⟹ V V ′ = 9 \left(\frac{\lambda'}{\lambda}\right)^2 = \frac{V}{V'} \quad \Longrightarrow \quad 3^2 = \frac{V}{V'} \quad \Longrightarrow \quad \frac{V}{V'} = 9 ( λ λ ′ ) 2 = V ′ V ⟹ 3 2 = V ′ V ⟹ V ′ V = 9 求めたい無次元比は V ′ V \frac{V'}{V} V V ′
V ′ V = 1 9 \frac{V'}{V} = \frac{1}{9} V V ′ = 9 1 この結果は、電子の質量 m m m e e e d d d
入力数の決定
得られた比は既約分数で p q = 1 9 \frac{p}{q} = \frac{1}{9} q p = 9 1 p = 1 p=1 p = 1 q = 9 q=9 q = 9 1 × 9 = 9 1 \times 9 = 9 1 × 9 = 9
入力形式の指示に従い、この積に 1000 1000 1000
9 + 1000 = 1009 9 + 1000 = 1009 9 + 1000 = 1009 入力すべき自然数は 1009 です。