うなりの回数による平均律の周波数ズレの測定

問題文

基準となる音（基準音）の振動数を $F$F とおく。

1オクターブ（振動数がちょうど2倍になる音程の間隔）の中に含まれる12個の半音の振動数比をすべて等しく設定する「十二平均律」という音律の規則に従うと、基準音から半音1つぶん高くなるごとに、振動数は一律で $2^{\frac{1}{12}}$2121​ 倍になる。

基準音よりも半音3つぶん高い特定音の本来の正しい振動数を $f$f とおく。十二平均律に基づくと、本来の振動数 $f$f は、基準音の振動数 $F$F を用いて次のように表される。

$$f = F \times \left(2^{\frac{1}{12}}\right)^3 = F \times 2^{\frac{1}{4}}$$f=F×(2121​)3=F×241​

実際の楽器の特定の音を鳴らしたところ、設定がわずかにずれていたため、本来の正しい振動数 $f$f よりもわずかに低い振動数 $f'$f′ で音が鳴っていた。 このずれた音と、本来の振動数 $f$f の音を同時に鳴らしたところ、1秒間あたり $n$n 回の「うなり」が観測された。1秒間あたりのうなりの回数は、同時に鳴らした2つの音波の振動数の差（絶対値）に等しい。

ここで、基準音の振動数 $F$F に対する、実際のずれた音の振動数 $f'$f′ の比を $\frac{f'}{F}$Ff′​ とおくと、次の式が導かれる。

$$\frac{f'}{F} = 2^{\frac{1}{4}} - \frac{n}{F}$$Ff′​=241​−Fn​

この右辺の2つの項を、共通の分母である $F$F を用いて1つの分数に通分したとき、その分子の形は $a \times 2^{\frac{1}{4}} - b$a×241​−b （ただし $a$a と $b$b は自然数）となる。 このときの係数 $a$a および $b$b の値をそれぞれ求め、以下の入力形式に従う自然数を求めよ。

制約

• 基準音の振動数： $F = 440\text{ }\mathrm{Hz}$F=440 Hz
• 1秒間あたりのうなりの回数： $n = 3\text{ }\mathrm{s^{-1}}$n=3 s−1

入力形式

得られた2つの係数の積 $a \times b$a×b の値を、そのまま自然数として入力せよ。