GWCB003 問題4
問題文
うなりの回数による平均律の周波数ズレの測定
問題文
基準となる音（基準音）の振動数を F とおく。
1オクターブ（振動数がちょうど2倍になる音程の間隔）の中に含まれる12個の半音の振動数比をすべて等しく設定する「十二平均律」という音律の規則に従うと、基準音から半音1つぶん高くなるごとに、振動数は一律で 2121 倍になる。
基準音よりも半音3つぶん高い特定音の本来の正しい振動数を f とおく。十二平均律に基づくと、本来の振動数 f は、基準音の振動数 F を用いて次のように表される。
f=F×(2121)3=F×241実際の楽器の特定の音を鳴らしたところ、設定がわずかにずれていたため、本来の正しい振動数 f よりもわずかに低い振動数 f′ で音が鳴っていた。 このずれた音と、本来の振動数 f の音を同時に鳴らしたところ、1秒間あたり n 回の「うなり」が観測された。1秒間あたりのうなりの回数は、同時に鳴らした2つの音波の振動数の差（絶対値）に等しい。
ここで、基準音の振動数 F に対する、実際のずれた音の振動数 f′ の比を Ff′ とおくと、次の式が導かれる。
Ff′=241−Fnこの右辺の2つの項を、共通の分母である F を用いて1つの分数に通分したとき、その分子の形は a×241−b （ただし a と b は自然数）となる。 このときの係数 a および b の値をそれぞれ求め、以下の入力形式に従う自然数を求めよ。
制約
- 基準音の振動数： F=440 Hz
- 1秒間あたりのうなりの回数： n=3 s−1
入力形式
得られた2つの係数の積 a×b の値を、そのまま自然数として入力せよ。
解説
解説
うなりの関係式と振動数の立式
同時に鳴らした2つの音波の振動数の差によって、1秒間あたり n 回のうなりが生じます。 実際の音の振動数 f′ は、本来の正しい振動数 f よりも低いため、うなりの回数 n は次のようになります。
n=f−f′この式を f′ について変形し、本来の振動数 f=F×241 を代入します。
f′=f−n=F×241−n振動数の比の計算と通分
比の式 Ff′ を計算するため、式の両辺を F で割ります。
Ff′=241−Fnこの式に、制約欄で与えられた数値（F=440、 n=3）を代入します。
Ff′=241−4403右辺の分母を 440 に統一して通分を行います。
Ff′=440440×241−3係数の特定と最終計算
問題文で指定された分子の形式である a×241−b と、通分して得られた分子の式を比較します。
a×241−b=440×241−3これにより、各係数は次の自然数として定まります。
- a=440
- b=3
入力形式に従い、これら2つの係数の積 a×b を計算します。
a×b=440×3=1320したがって、入力すべき自然数は 1320 です。