時間依存電磁場における荷電粒子の共鳴運動と運動エネルギー

問題文

無限に広がる真空の空間において、$xy$xy 平面に平行に運動する質量 $m$m、電気量 $q$q ($q > 0$q>0) の荷電粒子を考える。この空間には、恒に一定で一質な磁場 $\boldsymbol{B} = (0, 0, B)$B=(0,0,B) （$B > 0$B>0）が $z$z 軸の正の向きにかけられている。また、時刻 $t \ge 0$t≥0 において、時間的に変化する一質な電場 $\boldsymbol{E} = (0, E_0 \sin(\omega t), 0)$E=(0,E0​sin(ωt),0) （$E_0 > 0$E0​>0）が $y$y 軸方向にかけられている。ここで、角振動数 $\omega$ω は粒子のサイクロトロン角振動数 $\omega_c = \frac{qB}{m}$ωc​=mqB​ と厳密に一致しており、共鳴状態にあるものとする。

時刻 $t = 0$t=0 において、この荷電粒子は原点 $(0,0,0)$(0,0,0) に静止していた。粒子の速度ベクトルを $\boldsymbol{v}(t) = (v_x(t), v_y(t), 0)$v(t)=(vx​(t),vy​(t),0) とし、運動方程式を組み立てて速度の各成分の時間変化を求めよ。さらに、時刻 $t = 0$t=0 から数えてサイクロトロン運動の 5 周期分に相当する時間が経過した時刻 $t = \frac{10\pi}{\omega_c}$t=ωc​10π​ における、この荷電粒子の運動エネルギー $K$K を求めよ。

なお、粒子による電磁波の放射や、相対論的効果はすべて無視できるものとする。

制約

• $m = 5.00 \times 10^{-4} \text{ kg}$m=5.00×10−4 kg
• $q = 3.00 \times 10^{-2} \text{ C}$q=3.00×10−2 C
• $B = 0.500 \text{ T}$B=0.500 T
• $E_0 = 600 \text{ V/m}$E0​=600 V/m

入力形式

時刻 $t = \frac{10\pi}{\omega_c}$t=ωc​10π​ における粒子の運動エネルギー $K \text{ [J]}$K [J] は、円周率 $\pi$π を用いて $K = A \pi^2$K=Aπ2 と表される。このときの係数 $A$A の値を求め、その値を表す自然数を入力せよ。