GWCA001 問題6

解説

運動方程式の立式

荷電粒子が受ける力は、電場による静電力 $q\boldsymbol{E}$qE と、磁場によるローレンツ力 $q(\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B})$q(v×B) の合力です。 外積の成分を計算すると、各軸方向の運動方程式は次の連立微分方程式として得られます。

$m \frac{dv_x}{dt} = q v_y B$mdtdvx​​=qvy​B

$m \frac{dv_y}{dt} = q E_0 \sin(\omega_c t) - q v_x B$mdtdvy​​=qE0​sin(ωc​t)−qvx​B

ここで、サイクロトロン角振動数 $\omega_c = \frac{qB}{m}$ωc​=mqB​ を用いて式を整理します。

$\frac{dv_x}{dt} = \omega_c v_y \quad \dots \text{①}$dtdvx​​=ωc​vy​…①

$\frac{dv_y}{dt} = \frac{q E_0}{m} \sin(\omega_c t) - \omega_c v_x \quad \dots \text{②}$dtdvy​​=mqE0​​sin(ωc​t)−ωc​vx​…②

微分方程式の解法

式②を時間 $t$t でさらに微分し、そこに式①を代入して $v_x$vx​ を精算します。

$\frac{d^2v_y}{dt^2} = \frac{q E_0 \omega_c}{m} \cos(\omega_c t) - \omega_c \frac{dv_x}{dt}$dt2d2vy​​=mqE0​ωc​​cos(ωc​t)−ωc​dtdvx​​

$\frac{d^2v_y}{dt^2} = \frac{q E_0 \omega_c}{m} \cos(\omega_c t) - \omega_c^2 v_y$dt2d2vy​​=mqE0​ωc​​cos(ωc​t)−ωc2​vy​

$\frac{d^2v_y}{dt^2} + \omega_c^2 v_y = \frac{q E_0 \omega_c}{m} \cos(\omega_c t) \quad \dots \text{③}$dt2d2vy​​+ωc2​vy​=mqE0​ωc​​cos(ωc​t)…③

式③は、非斉次の2階線形微分方程式です。右辺の駆動項の角振動数が左辺の固有角振動数 $\omega_c$ωc​ と一致している（共鳴している）ため、特解（特殊解）は $v_{y,p}(t) = \alpha t \sin(\omega_c t)$vy,p​(t)=αtsin(ωc​t) の形を仮定します。 これを式③の左辺に代入して係数 $\alpha$α を比較します。

$v_{y,p}'(t) = \alpha \sin(\omega_c t) + \alpha \omega_c t \cos(\omega_c t)$vy,p′​(t)=αsin(ωc​t)+αωc​tcos(ωc​t)

$v_{y,p}''(t) = 2\alpha \omega_c \cos(\omega_c t) - \alpha \omega_c^2 t \sin(\omega_c t)$vy,p′′​(t)=2αωc​cos(ωc​t)−αωc2​tsin(ωc​t) これらを代入すると、

$2\alpha \omega_c \cos(\omega_c t) = \frac{q E_0 \omega_c}{m} \cos(\omega_c t) \implies \alpha = \frac{q E_0}{2m}$2αωc​cos(ωc​t)=mqE0​ωc​​cos(ωc​t)⟹α=2mqE0​​

したがって、一般解は斉次方程式の解と特解の和として次のように表されます。

$v_y(t) = C_1 \cos(\omega_c t) + C_2 \sin(\omega_c t) + \frac{q E_0}{2m} t \sin(\omega_c t)$vy​(t)=C1​cos(ωc​t)+C2​sin(ωc​t)+2mqE0​​tsin(ωc​t)

初期条件の適用

時刻 $t=0$t=0 で粒子は静止しているため、 $v_y(0) = 0$vy​(0)=0 より $C_1 = 0$C1​=0 となります。

$v_y(t) = C_2 \sin(\omega_c t) + \frac{q E_0}{2m} t \sin(\omega_c t)$vy​(t)=C2​sin(ωc​t)+2mqE0​​tsin(ωc​t)

次に、式②に $t=0$t=0 および $v_x(0)=0$vx​(0)=0 を代入すると、 $\frac{dv_y}{dt}\Big|_{t=0} = 0$dtdvy​​​t=0​=0 であることがわかります。 先ほどの $v_y(t)$vy​(t) を微分して $t=0$t=0 を代入します。

$v_y'(t) = C_2 \omega_c \cos(\omega_c t) + \frac{q E_0}{2m} \sin(\omega_c t) + \frac{q E_0 \omega_c}{2m} t \cos(\omega_c t)$vy′​(t)=C2​ωc​cos(ωc​t)+2mqE0​​sin(ωc​t)+2mqE0​ωc​​tcos(ωc​t)

$v_y'(0) = C_2 \omega_c = 0 \implies C_2 = 0$vy′​(0)=C2​ωc​=0⟹C2​=0

よって、 $v_y(t)$vy​(t) および式①から求まる $v_x(t)$vx​(t) は以下のようになります。

$v_y(t) = \frac{q E_0}{2m} t \sin(\omega_c t)$vy​(t)=2mqE0​​tsin(ωc​t)

$v_x(t) = \int \omega_c v_y(t) dt = \frac{q E_0 \omega_c}{2m} \int t \sin(\omega_c t) dt$vx​(t)=∫ωc​vy​(t)dt=2mqE0​ωc​​∫tsin(ωc​t)dt 部分積分を実行し、 $v_x(0) = 0$vx​(0)=0 を用いると次式を得ます。

$v_x(t) = \frac{q E_0}{2m} \left( \frac{1}{\omega_c} \sin(\omega_c t) - t \cos(\omega_c t) \right)$vx​(t)=2mqE0​​(ωc​1​sin(ωc​t)−tcos(ωc​t))

運動エネルギーの計算

速度の2乗和 $v^2 = v_x^2 + v_y^2$v2=vx2​+vy2​ を計算します。

$v_x^2 + v_y^2 = \left(\frac{q E_0}{2m}\right)^2 \left[ \left( \frac{1}{\omega_c} \sin(\omega_c t) - t \cos(\omega_c t) \right)^2 + t^2 \sin^2(\omega_c t) \right]$vx2​+vy2​=(2mqE0​​)2[(ωc​1​sin(ωc​t)−tcos(ωc​t))2+t2sin2(ωc​t)]

括弧を展開して整理すると、三角関数の関係式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$sin2θ+cos2θ=1 より、次のようになります。

$v^2 = \left(\frac{q E_0}{2m}\right)^2 \left[ \frac{1}{\omega_c^2} \sin^2(\omega_c t) - \frac{t}{\omega_c} \sin(2\omega_c t) + t^2 \right]$v2=(2mqE0​​)2[ωc2​1​sin2(ωc​t)−ωc​t​sin(2ωc​t)+t2]

求めたい時刻は、5周期経過後の $t = \frac{10\pi}{\omega_c}$t=ωc​10π​ です。このとき、 $\sin(\omega_c t) = 0$sin(ωc​t)=0 および $\sin(2\omega_c t) = 0$sin(2ωc​t)=0 となるため、項が大幅に単純化されます。

$v^2 = \left(\frac{q E_0}{2m}\right)^2 t^2 = \left(\frac{q E_0}{2m}\right)^2 \left(\frac{10\pi}{\omega_c}\right)^2 = \left(\frac{5\pi q E_0}{m \omega_c}\right)^2$v2=(2mqE0​​)2t2=(2mqE0​​)2(ωc​10π​)2=(mωc​5πqE0​​)2

ここで $\omega_c = \frac{qB}{m}$ωc​=mqB​ を代入すると、

$v^2 = \left(\frac{5\pi E_0}{B}\right)^2 = \frac{25\pi^2 E_0^2}{B^2}$v2=(B5πE0​​)2=B225π2E02​​

したがって、この時刻における運動エネルギー $K$K は次のように導かれます。

$K = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{25 \pi^2 m E_0^2}{2B^2}$K=21​mv2=2B225π2mE02​​

数値代入

得られた文字式に制約の数値を代入し、係数 $A$A を求めます。

$A = \frac{25 m E_0^2}{2B^2}$A=2B225mE02​​

• 分子： $25 \times (5.00 \times 10^{-4}) \times 600^2 = 25 \times (5.00 \times 10^{-4}) \times (3.60 \times 10^5) = 25 \times 180 = 4500$25×(5.00×10−4)×6002=25×(5.00×10−4)×(3.60×105)=25×180=4500
• 分母： $2 \times 0.500^2 = 2 \times 0.250 = 0.500$2×0.5002=2×0.250=0.500

よって、係数 $A$A は次のようになります。

$A = \frac{4500}{0.500} = 9000$A=0.5004500​=9000

求める自然数は $9000$9000 です。

解答：9000