有限質量原子核をもつ原子の量子化と発光エネルギー

問題文

質量 $M$M、電気量 $Ze$Ze （$Z$Z は原子番号、$e$e は電気量の絶対値）の原子核と、質量 $m$m、電気量 $-e$−e の電子からなる孤立した原子模型を考える。原子核と電子は、互いの間に働く静電力（クーロン力）のみによって、共通の重心を中心とした同一平面上の等速円運動を行っている。静電力の比例定数を $k_{\text{e}}$ke​ とする。また、重心は慣性系に対して静止しているものとする。

この円運動において、重心のまわりの電子の角運動量と原子核の角運動量の和（系の全角運動量）は、プランク定数 $h$h を用いて $\frac{nh}{2\pi}$2πnh​ （$n$n は正の整数）に量子化されているものとする。

この系において、量子数が $n=2$n=2 の状態から $n=1$n=1 の状態へ遷移するときに放出される光子のエネルギーを $\Delta E$ΔE とする。一方、原子核の質量が電子に比べて無限に大きく、原子核が重心に静止していると仮定した場合に、同様の遷移（$n=2$n=2 から $n=1$n=1）によって放出される光子のエネルギーを $\Delta E_{\infty}$ΔE∞​ とする。

比 $\frac{\Delta E_{\infty}}{\Delta E}$ΔEΔE∞​​ を既約分数 $\frac{p}{q}$qp​ （$p, q$p,q は互いに素な自然数）で表したとき、$p + q$p+q の値を求めよ。

制約

• $M = 4.00 \times 10^{-27} \text{kg}$M=4.00×10−27kg
• $m = 1.00 \times 10^{-30} \text{kg}$m=1.00×10−30kg
• $Z = 1$Z=1

入力形式

$\frac{\Delta E_{\infty}}{\Delta E} = \frac{p}{q}$ΔEΔE∞​​=qp​ から得られる自然数 $p + q$p+q を回答すること。ただし、 $\frac{p}{q}$qp​ は互いに素とする。