マイケルソン干渉計と力学の融合によるフリンジシフト

問題文（再掲）

真空の波長が $\lambda$λ の単色光源を用いたマイケルソン干渉計がある。光源から出た光はハーフミラー（ビームスプリッター）で2つの経路に分割される。 経路1には固定された鏡 $M_1$M1​ があり、経路2には水平で滑らかな床の上に置かれた質量 $M$M の可動鏡 $M_2$M2​ がある。この可動鏡 $M_2$M2​ は、ばね定数 $k$k の軽いばねに接続されており、水平方向に単振動することができる。 さらに、可動鏡 $M_2$M2​ とそれが動く空間は、絶対屈折率 $n$n の透明な液体で完全に満たされた細長い水槽の中にある。（ハーフミラーや固定鏡 $M_1$M1​ は空気中（屈折率 $1$1）にあるものとする）。

初期状態において、可動鏡 $M_2$M2​ はばねの自然長の付近で静止しており、干渉計の検出器ではある明るさの干渉縞が観測されていた。 いま、質量 $m$m の弾丸が速さ $v_0$v0​ で水平に飛来し、可動鏡 $M_2$M2​ の裏側に完全に命中して一体となった（完全非弾性衝突）。衝突の時間は極めて短く、衝突直後に $M_2$M2​（および弾丸）は速度 $V$V を得て、液体の中で単振動を開始した。液体の抵抗力は無視できるものとする。

可動鏡 $M_2$M2​ が振動すると、経路2の光学的距離が連続的に変化し、検出器で観測される干渉縞の明暗が周期的に変化する（フリンジシフト）。 この単振動の過程において、検出器で観測される明暗の変化の周波数（1秒間に通過する干渉縞の数）が最大となるときの、その最大周波数 $f_{max}$fmax​ を求めよ。 ただし、光の速さは弾丸や鏡の速さに比べて桁違いに大きく、鏡が動いている間のドップラー効果による波長変化は無視し、純粋な光路差の変化のみを考慮すればよい。

制約

• 光源の真空中の波長: $\lambda = 5.60 \times 10^{-7} \text{ m}$λ=5.60×10−7 m
• 液体の絶対屈折率: $n = 1.25$n=1.25
• 可動鏡の質量: $M = 0.480 \text{ kg}$M=0.480 kg
• ばね定数: $k = 200 \text{ N/m}$k=200 N/m
• 弾丸の質量: $m = 0.020 \text{ kg}$m=0.020 kg
• 弾丸の初速: $v_0 = 175 \text{ m/s}$v0​=175 m/s

入力形式

最大周波数 $f_{max}$fmax​ の値を単位 $\text{MHz}$MHz （メガヘルツ、$10^6 \text{ Hz}$106 Hz）で計算し、得られた値を $100$100 倍した値を回答せよ。