GSO001 問題16

この問題は、運動量保存則、単振動、そしてマイケルソン干渉計の光路差（屈折率を考慮した光学距離）という複数の分野を完遂する力が問われます。特に、「干渉縞の変化の周波数」という事象を「光路差の時間微分」として数学的にモデル化する視点が重要です。

1. 衝突後の最大速度の導出

まず、弾丸が可動鏡に命中した直後の速度 $V$V を求めます。 弾丸が鏡にめり込む際、衝突の時間は極めて短いため、ばねからの力積は無視でき、水平方向の運動量保存則が成り立ちます 。

$$m v_0 = (M + m) V$$mv0​=(M+m)V $$V = \frac{m v_0}{M + m} = \frac{0.020 \times 175}{0.480 + 0.020} = \frac{3.50}{0.500} = 7.00 \text{ m/s}$$V=M+mmv0​​=0.480+0.0200.020×175​=0.5003.50​=7.00 m/s

衝突直後、一体となった質量 $(M+m)$(M+m) の物体はばねの自然長の位置（振動の中心）にあります。単振動において、振動の中心を通過するときの速さが最大となるため、この単振動における最大速度 $v_{max}$vmax​ はまさに衝突直後の速度 $V$V と等しくなります 。（※制約にばね定数 $k$k が与えられていますが、これは振幅や周期を求める際には必要ですが、「最大速度」を求める上では不要なダミーデータです。入試問題ではこのような情報の取捨選択も求められます）。

$$v_{max} = 7.00 \text{ m/s}$$vmax​=7.00 m/s

2. 光路差の変化と干渉縞の周波数の関係の立式

次に、鏡が速度 $v$v で動いているときの、干渉縞が変化する周波数 $f$f を定式化します。 ハーフミラーから固定鏡 $M_1$M1​ までの距離を $L_1$L1​、ハーフミラーから可動鏡 $M_2$M2​ までの液体中の距離を $L_2$L2​ とします。 経路1は空気中（屈折率 $n_{air} \approx 1$nair​≈1）を往復するため、光学距離は $2 L_1$2L1​ です。 経路2は屈折率 $n$n の液体中を往復するため、光学距離は $2 n L_2$2nL2​ となります。

2つの光の光路差 $\Delta$Δ は、

$$\Delta = 2 n L_2 - 2 L_1$$Δ=2nL2​−2L1​

となります。強め合う干渉（明線）の条件は、整数 $m$m を用いて $\Delta = m \lambda$Δ=mλ と表されます。 したがって、観測される干渉縞の「次数（位相）」を示す実数 $N$N は、光路差を波長で割ったものとして定義できます。

$$N = \frac{\Delta}{\lambda} = \frac{2 n L_2 - 2 L_1}{\lambda}$$N=λΔ​=λ2nL2​−2L1​​

鏡 $M_2$M2​ が動くことで $L_2$L2​ が時間的に変化すると、この $N$N も時間的に変化します。$N$N が $1$1 変化するごとに、明暗のサイクルが1回（明→暗→明）繰り返されます。 したがって、1秒間に変化する干渉縞の数、すなわち干渉縞の周波数 $f$f は、$N$N の時間微分の絶対値で与えられます。

$$f = \left| \frac{dN}{dt} \right| = \left| \frac{d}{dt} \left( \frac{2 n L_2 - 2 L_1}{\lambda} \right) \right|$$f=​dtdN​​=​dtd​(λ2nL2​−2L1​​)​

$\lambda, n, L_1$λ,n,L1​ は定数であるため、微分の外に出ます。

$$f = \frac{2 n}{\lambda} \left| \frac{dL_2}{dt} \right|$$f=λ2n​​dtdL2​​​

ここで、$\frac{dL_2}{dt}$dtdL2​​ はまさに可動鏡の速度 $v$v に他なりません。

$$f = \frac{2 n |v|}{\lambda}$$f=λ2n∣v∣​

この式は、鏡が速く動くほど干渉縞が激しく変化することを示しています。

3. 数値計算

周波数 $f$f が最大となるのは、鏡の速さ $|v|$∣v∣ が最大となるとき、すなわち $v_{max} = 7.00 \text{ m/s}$vmax​=7.00 m/s の瞬間です。

$$f_{max} = \frac{2 n v_{max}}{\lambda}$$fmax​=λ2nvmax​​

制約の数値を代入します。

$$f_{max} = \frac{2 \times 1.25 \times 7.00}{5.60 \times 10^{-7}} = \frac{17.5}{5.60 \times 10^{-7}}$$fmax​=5.60×10−72×1.25×7.00​=5.60×10−717.5​

指数部分を計算しやすく整理します。

$$f_{max} = \frac{17.5}{5.60} \times 10^7 = 3.125 \times 10^7 \text{ Hz}$$fmax​=5.6017.5​×107=3.125×107 Hz

解答の指示に従い、単位を $\text{MHz}$MHz （$= 10^6 \text{ Hz}$=106 Hz）に変換します。

$$f_{max} = 31.25 \text{ MHz}$$fmax​=31.25 MHz

求める解答は、この値を $100$100 倍した値の整数部分であるため、$31.25 \times 100 = 3125$31.25×100=3125 となります。

最終解答: 3125