MEMSアクチュエータにおけるプルイン現象の解析

問題文

微小電気機械システム（MEMS）において、静電気力を利用して可動部を制御する静電アクチュエータは広く応用されています。このシステムに潜む物理的な不安定性（プルイン現象）について考察しましょう。

水平に固定された面積 $S$S の下部極板と、その真上にばね定数 $k$k の絶縁性の軽いばねで吊るされた面積 $S$S、質量 $m$m の上部極板（可動極板）があります。この2つの極板は、向かい合って平行平板コンデンサーを形成しています。極板間の空間は真空であり、真空の誘電率を $\varepsilon_0$ε0​ とします。なお、極板の端効果は無視できるものとします。

初期状態において、極板間に電圧は印加されておらず、重力とばねの弾性力がつりあった状態で可動極板は静止しています。このときの極板間距離は $d$d であり、コンデンサーの静電容量は $C_0$C0​ でした。

この状態から、極板間に直流電源を接続し、印加する電圧 $V$V を $0$0 からゆっくりと（極板が振動しないように、常に力のつりあいを保ちながら）増加させていきます。電圧を上げていくと極板間距離は減少していきますが、電圧 $V$V がある臨界値 $V_0$V0​ を超えた瞬間に、ばねの復元力では静電気力を支えきれなくなり、可動極板は下部極板に引き寄せられて激しく吸着してしまいます。この現象を「プルイン現象（Pull-in effect）」、臨界電圧 $V_0$V0​ を「プルイン電圧」と呼びます。

プルイン電圧の2乗の値 $V_0^2$V02​ を求めてください。

制約

• ばね定数: $k = 1.35 \text{ N/m}$k=1.35 N/m
• 初期極板間距離: $d = 6.4 \times 10^{-6} \text{ m}$d=6.4×10−6 m
• 初期静電容量: $C_0 = 2.4 \times 10^{-12} \text{ F}$C0​=2.4×10−12 F
• 質量: $m = 2.0 \times 10^{-6} \text{ kg}$m=2.0×10−6 kg
• 重力加速度の大きさ: $g = 9.8 \text{ m/s}^2$g=9.8 m/s2
• 全ての物理量はSI単位系に基づき、物理的に矛盾のない理想的な真空環境下にあるものとする。

入力形式

求めるプルイン電圧の2乗の値 $V_0^2$V02​（単位は $\text{V}^2$V2）は、既約分数 $\frac{A}{B}$BA​ で表されます。 $A + B$A+B の値を自然数で解答してください。