GSO002 問題7

この問題は、コンデンサーの極板間引力とばねの弾性力のつりあいを考え、そのつりあいが破綻する限界条件（数学的な極値、あるいは物理的なポテンシャルの不安定化）を導出する、大学入試の難関大でも頻出かつ非常に教育的なテーマです。

1. 極板間引力と力のつりあい

極板間に電圧 $V$V が印加され、極板間距離が $x$x （ただし $0 < x < d$0<x<d）でつりあっている状態を考えます。 初期状態（電圧0）で重力とばねの弾性力はすでにつりあっているため、以降の立式では重力と初期のばねの伸びを相殺して考え、**「極板間距離 $d$d を自然長とするばね」**として扱うことができます。 距離 $x$x におけるコンデンサーの静電容量 $C$C は、

$$C = \frac{\varepsilon_0 S}{x}$$C=xε0​S​

極板間引力 $F_e$Fe​ の大きさは、定電圧源に接続されている状態での仮想仕事の原理（またはエネルギー収支）から導出されます。公式として以下の形を用います。

$$F_e = \frac{1}{2}\frac{\varepsilon_0 S V^2}{x^2}$$Fe​=21​x2ε0​SV2​

この静電気力が下向きにはたらき、ばねの復元力 $F_k = k(d - x)$Fk​=k(d−x) が上向きにはたらくため、力のつりあいの方程式は次のようになります。

$$k(d - x) = \frac{1}{2}\frac{\varepsilon_0 S V^2}{x^2}$$k(d−x)=21​x2ε0​SV2​

2. つりあいが存在するための限界条件

つりあいの式を、電圧 $V^2$V2 について解きます。

$$V^2 = \frac{2k}{\varepsilon_0 S} x^2(d - x)$$V2=ε0​S2k​x2(d−x)

極板間距離 $x$x が変化したとき、右辺の関数 $f(x) = x^2(d - x)$f(x)=x2(d−x) が最大となる点を考えます。もし要求される $V^2$V2 がこの最大値を超えてしまうと、方程式を満たす実数解 $x$x が存在しなくなり、つりあいが崩壊（吸着）します。 $f(x)$f(x) を $x$x について微分します。

$$f'(x) = 2x(d - x) + x^2(-1) = 2dx - 3x^2 = x(2d - 3x)$$f′(x)=2x(d−x)+x2(−1)=2dx−3x2=x(2d−3x)

$0 < x < d$0<x<d の範囲において、$f'(x) = 0$f′(x)=0 となるのは $x = \frac{2}{3}d$x=32​d のときです。 増減表を考えると、このとき $f(x)$f(x) は最大値をとります。

$$f\left(\frac{2}{3}d\right) = \left(\frac{2}{3}d\right)^2 \left(d - \frac{2}{3}d\right) = \frac{4}{9}d^2 \cdot \frac{1}{3}d = \frac{4}{27}d^3$$f(32​d)=(32​d)2(d−32​d)=94​d2⋅31​d=274​d3

したがって、つりあいが保てる限界の電圧の2乗（プルイン電圧の2乗） $V_0^2$V02​ は以下のようになります。

$$V_0^2 = \frac{2k}{\varepsilon_0 S} \cdot \frac{4}{27}d^3 = \frac{8 k d^3}{27 \varepsilon_0 S}$$V02​=ε0​S2k​⋅274​d3=27ε0​S8kd3​

3. ポテンシャルエネルギーからのアプローチ（別解）

系の全ポテンシャルエネルギー $U(x)$U(x) から安定性を評価することも可能です。 弾性エネルギー、静電エネルギー、および定電圧源がする仕事を考慮すると、

$$U(x) = \frac{1}{2}k(d-x)^2 - \frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{2}k(d-x)^2 - \frac{\varepsilon_0 S V^2}{2x}$$U(x)=21​k(d−x)2−21​CV2=21​k(d−x)2−2xε0​SV2​

つりあい点は $\frac{dU}{dx} = 0$dxdU​=0 となる位置ですが、これが「安定なつりあい」であるためには下に凸、すなわち $\frac{d^2 U}{dx^2} > 0$dx2d2U​>0 である必要があります。

$$\frac{dU}{dx} = -k(d-x) + \frac{\varepsilon_0 S V^2}{2x^2} = 0$$dxdU​=−k(d−x)+2x2ε0​SV2​=0 $$\frac{d^2 U}{dx^2} = k - \frac{\varepsilon_0 S V^2}{x^3}$$dx2d2U​=k−x3ε0​SV2​

$\frac{dU}{dx} = 0$dxdU​=0 より $\varepsilon_0 S V^2 = 2k(d-x)x^2$ε0​SV2=2k(d−x)x2 を代入すると、

$$\frac{d^2 U}{dx^2} = k - \frac{2k(d-x)x^2}{x^3} = k - \frac{2k(d-x)}{x} = \frac{k(3x - 2d)}{x}$$dx2d2U​=k−x32k(d−x)x2​=k−x2k(d−x)​=xk(3x−2d)​

これが正となる条件は $3x - 2d > 0$3x−2d>0、すなわち $x > \frac{2}{3}d$x>32​d です。 距離が $d$d から減少し、$x = \frac{2}{3}d$x=32​d に達した瞬間に安定性が失われ（極値を持たなくなり）、極板は吸着します。このアプローチからも、限界となる距離が全く同じように導出されます。

4. プルイン電圧の算出

得られた限界電圧の式を変形します。問題で与えられているのは初期静電容量 $C_0$C0​ です。

$$C_0 = \frac{\varepsilon_0 S}{d} \iff \varepsilon_0 S = C_0 d$$C0​=dε0​S​⟺ε0​S=C0​d

これを代入すると、

$$V_0^2 = \frac{8 k d^3}{27 (C_0 d)} = \frac{8 k d^2}{27 C_0}$$V02​=27(C0​d)8kd3​=27C0​8kd2​

与えられた制約の数値を代入して計算します。

• $k = 1.35$k=1.35
• $d = 6.4 \times 10^{-6}$d=6.4×10−6
• $C_0 = 2.4 \times 10^{-12}$C0​=2.4×10−12

$$V_0^2 = \frac{8 \times 1.35 \times (6.4 \times 10^{-6})^2}{27 \times 2.4 \times 10^{-12}} = \frac{10.8 \times 40.96 \times 10^{-12}}{64.8 \times 10^{-12}}$$V02​=27×2.4×10−128×1.35×(6.4×10−6)2​=64.8×10−1210.8×40.96×10−12​

ここで、$10.8 \times 6 = 64.8$10.8×6=64.8 であることに着目すると、綺麗に約分ができます。

$$V_0^2 = \frac{40.96}{6} = \frac{4096}{600}$$V02​=640.96​=6004096​

この分数を既約分数に直すため、分子と分母を最大公約数（$8$8）で割ります。

• 分子: $4096 \div 8 = 512$4096÷8=512
• 分母: $600 \div 8 = 75$600÷8=75

これ以上約分できないため（$512=2^9$512=29、 $75=3\times 5^2$75=3×52より互いに素）、既約分数は $\frac{512}{75}$75512​ となります。 したがって、$A = 512, B = 75$A=512,B=75 となり、求める値は

$$A + B = 512 + 75 = 587$$A+B=512+75=587

となります。

最終解答: 587