星のワット・ガバナー：回転系における非線形微小振動の解析

問題文

ある惑星の重力加速度の大きさを $g$g とする。 鉛直方向に固定された細い回転軸がある。この回転軸上の点Oには滑らかなヒンジがあり、そこから長さ $l$l の質量が無視できる剛体棒が2本、それぞれ質点とみなせる小球A, B（ともに質量 $m$m）につながれている。 さらに、小球A, Bから長さ $l$l の質量が無視できる剛体棒がそれぞれ伸びており、それらの他端は共通の滑らかなヒンジでスリーブC（質点とみなし、質量を $M$M とする）につながれている。

スリーブCは回転軸上を摩擦なく上下に滑ることができる。小球A, Bは常に回転軸を挟んで対称な位置にある。点O, A, C, Bを頂点とする四角形は常にひし形をなし、これら4点は回転軸を含む同一平面内にあり、その平面ごと回転軸のまわりを回転する。

今、装置全体を回転軸のまわりに一定の角速度 $\omega$ω で強制的に回転させ続けたところ、スリーブCは点Oから一定の距離 $z_0$z0​ の位置で回転系から見て静止した（これを定常状態と呼ぶ）。このとき、各棒が回転軸となす角を $\theta_0$θ0​ ($0 < \theta_0 < \pi/2$0<θ0​<π/2) とする。

その後、回転系においてスリーブCに鉛直方向の微小な変位を与え、静かに手を放したところ、スリーブCは定常位置を中心に微小振動を行った。 この微小振動の周期 $T$T を求めよ。 なお、空気抵抗や各ヒンジの摩擦は一切無視できるものとする。

制約

• 重力加速度の大きさ: $g = 12 \text{ m/s}^2$g=12 m/s2
• 小球A, Bの質量: $m = 4 \text{ kg}$m=4 kg
• スリーブCの質量: $M = 3 \text{ kg}$M=3 kg
• 剛体棒の長さ: $l = 1.4 \text{ m}$l=1.4 m
• 回転の角速度: $\omega = 5 \text{ rad/s}$ω=5 rad/s

入力形式

微小振動の周期 $T$T は、互いに素な自然数 $A, B$A,B を用いて $T = \frac{A}{B}\pi \text{ [s]}$T=BA​π [s] と表せる。 $100A + B$100A+B の値を求め、自然数で回答せよ。