振り子運動と台の可動による完全非弾性衝突

問題文

滑らかな水平床面上に質量 $M$M の台が置かれており、その上面には質量が無視できる長さ $L$L の軽くて伸びない糸が取り付けられている。糸の他端には質量 $m$m の小球 A が取り付けられており、小球 A は台とともに運動できる。台の上面における糸の固定点を点 O とする。

点 O から鉛直下向きに距離 $L$L だけ離れた位置は、小球 A の鉛直下方の最下点に対応する。この最下点において、台の上面には質量 $m$m の小物体 B が静止して置かれている。

最初、台を水平床面上に固定した状態で、糸をたるませずに水平位置（角度 $90^\circ$90∘）まで引き上げ、小球 A を静かに放した。小球 A は最下点に向かって円運動し、最下点に達した直前に、台の固定を解除して水平床面上を滑らかに運動できるようにした。小球 A は最下点において小物体 B と正面衝突し、直後に小球 A と小物体 B は一体となった。

衝突後、一体となった物体（質量 $2m$2m）は台の上を離れずに運動し、糸が鉛直線となす角が最大値 $\theta_{\text{max}}$θmax​ に達した。

水平床面および台の上面と小球 A、小物体 B との間の摩擦、ならびに空気抵抗はすべて無視できるものとする。また、重力加速度の大きさを $g$g とする。

$\cos\theta_{\text{max}}$cosθmax​ の値は既約分数 $\frac{p}{q}$qp​ （$p, q$p,q は互いに素な自然数）で表される。$p+q$p+q の値を求めよ。

制約

• $m = 0.20 \text{ kg}$m=0.20 kg
• $M = 0.60 \text{ kg}$M=0.60 kg
• $L = 0.80 \text{ m}$L=0.80 m
• $g = 9.8 \text{ m/s}^2$g=9.8 m/s2

入力形式

$\cos\theta_{\text{max}}$cosθmax​ を既約分数 $\frac{p}{q}$qp​ で表したときの分子と分母の和 $p+q$p+q の自然数値。