斜面上のばね振り子と小物体の摩擦運動

問題文

傾斜角 $\theta$θ のなめらかな斜面と、これに続く粗い水平面がスムーズに接続されている。斜面の上端には壁が垂直に設置されており、一端を壁に固定されたばね定数 $k$k の軽いはねの他端に、質量 $m$m の小物体 A が取り付けられている。斜面上で小物体 A を引いてばねを自然長から $L$L だけ伸ばした位置で静かに放すと、小物体 A は斜面をすべり降り、水平面に進入した。

水平面上の、斜面との接続点から距離 $d$d だけ離れた点 P には、質量 $M$M の小物体 B が静止している。小物体 A は水平面上を運動して小物体 B に衝突し、直後に小物体 A と小物体 B は一体となって運動した。小物体 A と水平面との間の動摩擦係数を $\mu_A$μA​、小物体 B と水平面との間の動摩擦係数を $\mu_B$μB​ とし、重力加速度の大きさを $g$g とする。

小物体 A はばねから離れることなく運動するものとし、小物体 A が斜面から水平面に移行する際の運動エネルギーの損失および空気抵抗は無視できるものとする。また、小物体 A が小物体 B と一体化した直後から完全に停止するまでに、小物体 A および小物体 B 全体が水平面上を進んだ距離を $x$x とする。

距離 $x$x を与える式を表したとき、無次元量である比 $\frac{x}{L}$Lx​ は既約分数 $\frac{p}{q}$qp​ （$p, q$p,q は互いに素な自然数）で表される。$p+q$p+q の値を求めよ。

制約

• $m = 0.20 \text{ kg}$m=0.20 kg
• $M = 0.30 \text{ kg}$M=0.30 kg
• $k = 40 \text{ N/m}$k=40 N/m
• $L = 0.50 \text{ m}$L=0.50 m
• $\theta = 30^\circ$θ=30∘
• $g = 9.8 \text{ m/s}^2$g=9.8 m/s2
• $\mu_A = 0.25$μA​=0.25
• $\mu_B = 0.25$μB​=0.25
• $d = 0.60 \text{ m}$d=0.60 m

入力形式

$\frac{x}{L}$Lx​ を既約分数 $\frac{p}{q}$qp​ で表したときの分子と分母の和 $p+q$p+q の自然数値。