磁場中での分裂と再合体

問題文

$xy$xy 平面内を運動する、質量 $3m$3m、電荷 $+2q$+2q の点粒子 $C$C を考える。ただし、$m,q>0$m,q>0 とする。

空間には $z$z 軸正方向の一様な磁束密度

$$\boldsymbol{B}=B\boldsymbol{e}_z$$B=Bez​

が存在しており、$B>0$B>0 とする。重力その他の力は無視し、磁場は粒子の運動範囲全体で一様であるものとする。

ある瞬間、粒子 $C$C が原点 $O$O を速度 $V\boldsymbol{e}_x$Vex​ で通過したと同時に、内部エネルギーの一部を運動エネルギーに変えて、次の2つの点粒子 $A,B$A,B に瞬間的に分裂した。ただし、$V>0$V>0 とする。

• 粒子 $A$A：質量 $m$m、電荷 $+q$+q
• 粒子 $B$B：質量 $2m$2m、電荷 $+q$+q

分裂に要する時間は十分短く、その間に磁場から受ける力積は無視できるものとする。また、分裂前後で全運動量は保存される。

分裂直後の $A,B$A,B の速度の向きはあらかじめ与えられていない。

分裂後、$A,B$A,B は一様磁場中を運動し、原点 $O$O を出発してから初めて再び同じ位置 $P$P に到達して衝突した。さらに、この衝突の瞬間は、粒子 $A$A の速度が分裂直後の速度と初めて正反対の向きになった瞬間であった。

$P$P で $A,B$A,B は瞬間的に完全非弾性衝突し、そのまま合体して、質量 $3m$3m、電荷 $+2q$+2q の1個の点粒子 $D$D となった。合体に要する時間も十分短く、その間に磁場から受ける力積は無視でき、合体前後で全運動量が保存されるものとする。

その後も $D$D は同じ一様磁場中を運動し続ける。

点 $P$P の $x$x 座標を $x_P$xP​ とする。また、合体後の粒子 $D$D がその後の運動で到達する $x$x 座標の最大値を $x_{\max}$xmax​ とする。

$$\frac{x_{\max}}{x_P}=\frac{p}{r}$$xP​xmax​​=rp​

と表されるとき、互いに素な自然数 $p,r$p,r に対して $p+r$p+r を求めよ。

入力形式

$\dfrac{x_{\max}}{x_P}=\dfrac{p}{r}$xP​xmax​​=rp​ を既約分数で表したときの $p+r$p+r を自然数で入力する。