偏心した直円柱の原点まわりにおける慣性テンソルと回転軸の極値問題

問題文

3次元デカルト座標系 $(x,y,z)$(x,y,z) を考える。 一様で等方的な密度を持つ質量 $M$M、底面の半径 $R$R、高さ $h$h の直円柱がある。 この円柱の一つの底面が $x-y$x−y 平面（$z=0$z=0）に完全に含まれており、その底面の中心の座標は $(R, 0, 0)$(R,0,0) である。 円柱の中心軸（対称軸）は直線 $x=R, y=0$x=R,y=0 に一致し、円柱の本体は $0 \le z \le h$0≤z≤h の領域に存在している。 座標原点 $O(0,0,0)$O(0,0,0) は、この底面の円周上に位置していることになる。

原点 $O$O を通り、$x-z$x−z 平面内に含まれる任意の直線を回転軸としたときの、円柱の慣性モーメントを考える。この回転軸の方向を $x-z$x−z 平面内で連続的に変えたとき、慣性モーメントが取り得る最大値を $I_A$IA​、最小値を $I_B$IB​ とする。 また、原点 $O$O を通り、$y$y 軸に完全に一致する直線を回転軸としたときの、円柱の慣性モーメントを $I_C$IC​ とする。

円柱の高さが $h = 4R$h=4R の関係を満たすとき、$I_A, I_B$IA​,IB​ は次のように表される。 $I_A = \frac{P + \sqrt{Q}}{S} M R^2$IA​=SP+Q​​MR2 $I_B = \frac{P - \sqrt{Q}}{S} M R^2$IB​=SP−Q​​MR2 ここで、$P, S$P,S は互いに素な自然数であり、$Q$Q は平方因子を持たない自然数（いかなる素数の2乗でも割り切れない自然数）である。 また、$I_C$IC​ は次のように表される。 $I_C = \frac{U}{V} M R^2$IC​=VU​MR2 ここで、$U, V$U,V は互いに素な自然数である。

上記から導出される変数 $P, Q, S, U, V$P,Q,S,U,V を用いて、指示された一意な自然数を算出せよ。

制約

• 円柱の質量: $M = 500.0 \ \mathrm{kg}$M=500.0 kg
• 円柱の底面の半径: $R = 10.0 \ \mathrm{m}$R=10.0 m
• 円柱の高さ: $h = 40.0 \ \mathrm{m}$h=40.0 m
• 慣性テンソルの各成分は $I_{ij} = \int \rho (r^2 \delta_{ij} - x_i x_j) dV$Iij​=∫ρ(r2δij​−xi​xj​)dV で定義されるものとする。すなわち、非対角成分（慣性乗積）は $I_{ij} = - \int \rho x_i x_j dV \ (i \neq j)$Iij​=−∫ρxi​xj​dV (i=j) である。

入力形式

次の式で計算される値 $W$W を、自然数として入力せよ。 $W = P \times Q + S \times U + V$W=P×Q+S×U+V