二連式ファラデー円板と斜め衝突

問題文

水平に置かれた2枚の一様な金属円板A、Bが、それぞれ独立した鉛直軸の周りに摩擦なく回転できる装置がある。各円板の質量を $M_i$Mi​、半径を $a_i$ai​、回転軸周りの慣性モーメントを $J_i$Ji​ とする。ただし、添字 $i$i はAまたはBを表す。

両円板には、それぞれ鉛直上向きの一様磁場が加えられている。各円板の中心と外周には静止した電極ブラシが接触しており、中心ブラシ同士は抵抗を無視できる導線で接続され、外周ブラシ同士は抵抗 $R$R とスイッチを直列に介して接続されている。

円板Aの外周上には、質量と慣性モーメントを無視できる小さな衝突板が固定されている。衝突板の接触面は滑らかな鉛直平面で、その面は接触点における半径方向に平行である。したがって、接触面の法線は円周方向を向く。

初め、両円板は静止しており、スイッチは開いている。

質量 $m$m の小球が水平面内を運動し、円板Aの回転軸から距離 $a_A$aA​ の位置で衝突板に斜めに衝突する。小球は質点として扱え、衝突直前の速度は、接触点における半径方向外向きの成分と、円周方向の成分 $v$v を持つ。ここで、円周方向の正の向きは、上から見て反時計回りとし、$v>0$v>0 とする。

衝突は瞬間的であり、小球と衝突板の間には摩擦がない。接触面の法線方向の相対速度に対する反発係数は $e$e である。衝突中、円板の回転軸周りの外力のモーメントは無視できる。また、小球は衝突後、装置と再び接触することなく飛び去る。

この衝突が完了した直後にスイッチを閉じる。

各円板は理想的なファラデー円板として振る舞う。上から見て反時計回りを角速度の正の向きとすると、円板 $i$i の中心に対する外周の電位は

$$\mathcal E_i=k_i\omega_i$$Ei​=ki​ωi​

で与えられる。ただし、

$$k_i=\frac{B_i a_i^2}{2}$$ki​=2Bi​ai2​​

であり、$B_i$Bi​ は各円板に加えられた磁束密度の大きさである。

回路の電流 $I$I は、円板Aの外周ブラシから抵抗 $R$R を通り、円板Bの外周ブラシへ流れる向きを正とする。このとき、回路の電流は

$$I=\frac{k_A\omega_A-k_B\omega_B}{R}$$I=RkA​ωA​−kB​ωB​​

を満たす。

また、電流によって円板A、Bが受ける回転軸周りの電磁トルクは、それぞれ

$$\tau_A=-k_AI,\qquad \tau_B=k_BI$$τA​=−kA​I,τB​=kB​I

である。トルクの符号も反時計回りを正とする。

回路の全抵抗 $R$R は正で一定であり、自己インダクタンスは無視できる。また、各円板の軸の摩擦、空気抵抗、電磁トルク以外の外力のモーメントは無視できる。

なお、回転運動については、以下の関係を用いてよい。

• 一様な円板の慣性モーメントは $J=\frac12Ma^2$J=21​Ma2 である。
• 回転軸周りの角運動量は $L=J\omega$L=Jω であり、外力のモーメントが働かなければ保存される。
• トルクの時間積分は角運動量の変化に等しい。

スイッチを閉じてから十分長い時間が経過し、回路電流が0に近づくまでに、回路を正方向に通過する正味の電荷量 $Q$Q を求めよ。

制約

• $m=0.1\,\mathrm{kg}$m=0.1kg
• $v=3\,\mathrm{m/s}$v=3m/s
• $e=\dfrac{11}{20}$e=2011​
• $M_A=1\,\mathrm{kg}$MA​=1kg
• $a_A=0.2\,\mathrm{m}$aA​=0.2m
• $B_A=0.8\,\mathrm{T}$BA​=0.8T
• $M_B=0.5\,\mathrm{kg}$MB​=0.5kg
• $a_B=0.15\,\mathrm{m}$aB​=0.15m
• $B_B=1.2\,\mathrm{T}$BB​=1.2T

入力形式

電荷量 $Q$Q を $\mathrm{C}$C 単位で表し、既約分数

$$Q=\frac{P}{S}$$Q=SP​

とする。ただし、$P,S$P,S は互いに素な正の整数である。

自然数 $P+S$P+S を入力せよ。