Legendre変換と物理的な微分方程式

問題文

集合$\Omega=\left\{\gamma：[t_0,t_1]\xrightarrow{C^\infty}\mathbb{R}\mid\gamma(t_0)=x_0,\gamma(t_1)=x_1\right\}$Ω={γ：[t0​,t1​]C∞​R∣γ(t0​)=x0​,γ(t1​)=x1​}と、十分滑らかな関数$L(x,v,t)：\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$L(x,v,t)：R3→Rに対して$S：\Omega\to\mathbb{R}$S：Ω→Rを

$$\tilde{\gamma}(t)=\left(\gamma(t),\frac{d\gamma(t)}{dt},t\right),\qquad S(\gamma)=\int_{t_0}^{t_1}(L\circ\tilde{\gamma})(t)\,dt$$γ~​(t)=(γ(t),dtdγ(t)​,t),S(γ)=∫t0​t1​​(L∘γ~​)(t)dt

で定める。$S$Sの停留の必要十分条件はEuler-Lagrange方程式で与えられる：

$$\forall t\qquad \left(\frac{\partial L}{\partial x}\circ\tilde{\gamma}\right)(t) -\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial v}\circ\tilde{\gamma}\right)(t)=0$$∀t(∂x∂L​∘γ~​)(t)−dtd​(∂v∂L​∘γ~​)(t)=0

ここで、速度表示のエネルギー関数$H(x,v,t)：\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$H(x,v,t)：R3→Rを

$$H(x,v,t)=v\frac{\partial L}{\partial v}(x,v,t)-L(x,v,t)$$H(x,v,t)=v∂v∂L​(x,v,t)−L(x,v,t)

で定める。

[1] $L$Lが$t$tに陽に依存しないとき、$\frac{d}{dt}\left(H\circ\tilde{\gamma}\right)(t)$dtd​(H∘γ~​)(t)を計算せよ。

[2] $a,\lambda\gt0$a,λ>0とする。時刻$t$tは秒単位、$\phi$ϕと$a$aはメートル単位、$\lambda$λは$\mathrm{m^{-2}s^{-2}}$m−2s−2単位で表す。次の微分方程式を満たす$\phi(t)$ϕ(t)を求めよ：

$$\ddot{\phi}=\lambda\phi(\phi^2-a^2),\qquad \lim_{t\to-\infty}\phi(t)=-a,\qquad \lim_{t\to+\infty}\phi(t)=a,\qquad \phi(0)=0$$ϕ¨​=λϕ(ϕ2−a2),t→−∞lim​ϕ(t)=−a,t→+∞lim​ϕ(t)=a,ϕ(0)=0

制約

$a=3$a=3

$\lambda=2$λ=2

入力形式

時刻は秒、$\phi$ϕの値はメートルを単位として表すものとする。 $\phi(\ln2)=\frac{q}{p}$ϕ(ln2)=pq​と表せるので、$p+q$p+qを求めよ。 ただし、$p,q$p,qは互いに素な正整数。