コンデンサーと誘電体の挿入

問題文

長方形の極板の面積が$S$S、極板の一辺の長さが$a$a、極板間の距離が$d$dに保たれている平行板コンデンサーがある。

その極板間に極板と同形で、厚さが$d$d、誘電率が$\epsilon$ϵの誘電体板を、その側面を極板の一辺と平行にして挿入しておく。

極板間が真空になっている部分の長さを$x$xとする。なお、真空の誘電率を$\epsilon_0$ϵ0​とする。ただし、端効果は無視し、真空部分の面積は $\dfrac{Sx}{a}$aSx​ とする。

次の問いに答えよ。注、必要ならば無次元量$\alpha$αについて、$|\alpha|\ll1$∣α∣≪1のときに成立する近似式$\dfrac{1}{1+\alpha}\approx1-\alpha$1+α1​≈1−αを用いてもよい。

\begin{enumerate} \item このコンデンサーの電気容量$C$Cを求めよ。 \item 極板上の電荷を$\pm Q$±Qに保って、誘電体をさらに$\delta x(\delta x\ll x)$δx(δx≪x)だけ極板から引き出した場合を考える。このとき、真空部分の長さは$x+\delta x$x+δxになる。極板間の電界が誘電体に及ぼしている力の大きさと方向を答えよ。 \item 極板を電池につないで極板間の電圧を$V$Vに保って、誘電体をさらに$\delta x(\delta x\ll x)$δx(δx≪x)だけ極板から引き出した場合を考える。このとき、真空部分の長さは$x+\delta x$x+δxになる。電界が誘電体に及ぼしている力の大きさ及び向きを答えよ。 \end{enumerate}

制約

• $S=2.304\times 10^{-3}\ {\mathrm m^2}$S=2.304×10−3 m2
• $a=4.80\times 10^{-2}\ {\mathrm m}$a=4.80×10−2 m
• $x=2.40\times 10^{-2}\ {\mathrm m}$x=2.40×10−2 m
• $d=8.00\times 10^{-4}\ {\mathrm m}$d=8.00×10−4 m
• $\epsilon_0=9.00\times 10^{-12}\ {\mathrm F/m}$ϵ0​=9.00×10−12 F/m
• $\epsilon=3.60\times 10^{-11}\ {\mathrm F/m}$ϵ=3.60×10−11 F/m
• $Q=7.20\times 10^{-9}\ {\mathrm C}$Q=7.20×10−9 C
• $V=120\ {\mathrm V}$V=120 V

入力形式

(2)で求めた力の大きさを $F_Q$FQ​，(3)で求めた力の大きさを $F_V$FV​ とする。

次の値を自然数で答えよ。

$$(F_Q+F_V)\times 10^9$$(FQ​+FV​)×109

ただし、力の単位は ${\mathrm N}$N とする。