偏心した直円柱の慣性テンソルと慣性主軸

問題文

3次元デカルト座標系 $(x,y,z)$(x,y,z) を考える。 一様で等方的な密度を持つ質量 $M$M、底面の半径 $R$R、高さ $h$h の直円柱がある。 この円柱の一つの底面が $x-y$x−y 平面（$z=0$z=0）に完全に含まれており、その底面の中心の座標は $(R, 0, 0)$(R,0,0) である。 円柱の中心軸（対称軸）は直線 $x=R, y=0$x=R,y=0 に一致し、円柱の本体は $0 \le z \le h$0≤z≤h の領域に存在している。 座標原点 $O(0,0,0)$O(0,0,0) は、この底面の円周上に位置していることになる。

原点 $O$O を通り、$x-z$x−z 平面内に含まれる任意の直線を回転軸としたときの、円柱の慣性モーメントを考える。この回転軸の方向を $x-z$x−z 平面内で連続的に変えたとき、慣性モーメントが取り得る最大値を $I_A$IA​、最小値を $I_B$IB​ とする。 また、原点 $O$O を通り、$y$y 軸に完全に一致する直線を回転軸としたときの、円柱の慣性モーメントを $I_C$IC​ とする。

円柱の高さが $h = 2R$h=2R の関係を満たすとき、$I_A, I_B$IA​,IB​ は次のように表される。 $I_A = \frac{P + \sqrt{Q}}{S} M R^2$IA​=SP+Q​​MR2 $I_B = \frac{P - \sqrt{Q}}{S} M R^2$IB​=SP−Q​​MR2 ここで、$P, S$P,S は互いに素な自然数であり、$Q$Q は平方因子を持たない自然数（いかなる素数の2乗でも割り切れない自然数）である。 また、$I_C$IC​ は次のように表される。 $I_C = \frac{U}{V} M R^2$IC​=VU​MR2 ここで、$U, V$U,V は互いに素な自然数である。

上記から導出される変数 $P, Q, S, U, V$P,Q,S,U,V を用いて、指示された一意な自然数を算出せよ。

制約

• 円柱の質量: $M = 12.0 \ \mathrm{kg}$M=12.0 kg
• 円柱の底面の半径: $R = 0.50 \ \mathrm{m}$R=0.50 m
• 円柱の高さ: $h = 1.0 \ \mathrm{m}$h=1.0 m
• 慣性テンソルの各成分は $I_{ij} = \int \rho (r^2 \delta_{ij} - x_i x_j) dV$Iij​=∫ρ(r2δij​−xi​xj​)dV で定義されるものとする。すなわち、非対角成分（慣性乗積）は $I_{ij} = - \int \rho x_i x_j dV \ (i \neq j)$Iij​=−∫ρxi​xj​dV (i=j) である。

入力形式

次の式で計算される値 $W$W を、自然数として入力せよ。 $W = P \times Q + S \times U + V$W=P×Q+S×U+V