GWCS003 問題5

解説

観測者が斜め方向から伝播してくる音波を受け取るときの、ドップラー効果に関する問題です。

1. 音波が発せられた位置と時間の関係

観測者が原点 $\text{O}(0,0)$O(0,0) に到達した時刻を $t = 0$t=0 とします。観測者が原点で聴く音波は、それより前の時刻 $t = -t_0 \ (t_0 > 0)$t=−t0​ (t0​>0) に音源 $\text{S}(0, d)$S(0,d) から発せられたものです。 音波が音源から原点まで進む距離を $L$L とすると、音速が $V$V であることから、音波が伝播するのにかかった時間 $t_0$t0​ は次のように表されます。 $t_0 = \frac{L}{V}$t0​=VL​

時刻 $t = -t_0$t=−t0​ において、速さ $v$v で $x$x 軸上を正の向きに動く観測者は、原点の手前（$x$x 軸の負の領域）の以下の位置にいました。 $x = -v t_0 = -v \frac{L}{V}$x=−vt0​=−vVL​

このとき、音源 $\text{S}(0, d)$S(0,d) と時刻 $t = -t_0$t=−t0​ における観測者の位置 $\left(-v \frac{L}{V}, 0\right)$(−vVL​,0) との間の距離が $L$L であるため、三平方の定理より次の関係式が成り立ちます。 $L^2 = \left(-v \frac{L}{V}\right)^2 + d^2$L2=(−vVL​)2+d2

これを $L^2$L2 について整理します。 $L^2 \left(1 - \frac{v^2}{V^2}\right) = d^2$L2(1−V2v2​)=d2 $L = \frac{d}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{V^2}}}$L=1−V2v2​​d​

制約の数値を代入して $L$L の具体的な値を求めます。 $\sqrt{1 - \frac{v^2}{V^2}} = \sqrt{1 - \left(\frac{160}{340}\right)^2} = \sqrt{1 - \left(\frac{8}{17}\right)^2} = \sqrt{\frac{289 - 64}{289}} = \sqrt{\frac{225}{289}} = \frac{15}{17}$1−V2v2​​=1−(340160​)2​=1−(178​)2​=289289−64​​=289225​​=1715​ $L = \frac{150}{\frac{15}{17}} = 170 \text{ m}$L=1715​150​=170 m

2. 音波の入射角の決定

音波が発せられた瞬間の、音源から観測者へ向かう直線と $x$x 軸の正の向き（観測者の運動方向）がなす角を $\theta$θ とします。 音源 $\text{S}(0, d)$S(0,d) から当時の観測者の位置 $(-80, 0)$(−80,0) へ向かうベクトルの成分を考えると、 $x$x 成分の変位は $-80 \text{ m}$−80 m、 $y$y 成分の変位は $-150 \text{ m}$−150 m であり、全距離は $L = 170 \text{ m}$L=170 m です。 したがって、 $\cos \theta$cosθ の値は次のように求まります。 $\cos \theta = \frac{-80}{170} = -\frac{8}{17}$cosθ=170−80​=−178​

3. 斜めドップラー効果の適用

観測者が受けるドップラー効果の振動数 $f'$f′ は、音波の伝播方向における観測者の速度成分によって決まります。観測者は音波の進行方向に対して $v \cos \theta$vcosθ の速度成分を持って運動しているため、ドップラー効果の公式より以下の関係が成り立ちます。 $f' = \frac{V - v \cos \theta}{V} f_0$f′=VV−vcosθ​f0​

この式に変数の関係を代入して、比 $\frac{f'}{f_0}$f0​f′​ を導出します。 $\frac{f'}{f_0} = 1 - \frac{v}{V} \cos \theta$f0​f′​=1−Vv​cosθ

数値を代入します。 $\frac{f'}{f_0} = 1 - \left(\frac{8}{17}\right) \times \left(-\frac{8}{17}\right) = 1 + \frac{64}{289} = \frac{353}{289}$f0​f′​=1−(178​)×(−178​)=1+28964​=289353​

4. 入力値の算出

得られた比 $\frac{353}{289}$289353​ は、分子の 353 が素数であるため、これ以上約分できない既約分数です。 したがって、 $p = 353$p=353、 $q = 289$q=289 となります。 入力形式に従い、 $p+q$p+q を計算します。 $p + q = 353 + 289 = 642$p+q=353+289=642

入力すべき自然数は 642 です。