GWCB012 問題5

解説

物理現象の整理と使用法則

本問では、水平な床と小物体の間に摩擦がはたらず、空気抵抗も無視できるため、小物体とばねからなる系には保存力であるばねの弾性力のみが仕事をします。したがって、小物体の運動において力学的エネルギー保存則が成立します。

力学的エネルギー保存則の立式

ばねの自然長の位置 $x = 0$x=0 を基準とし、小物体の運動エネルギーとばねの弾性エネルギーの和を考えます。

1. 初期状態（$x = d$x=d、静止）

   • 運動エネルギー：$K_1 = 0$K1​=0
   • 弾性エネルギー：$U_1 = \frac{1}{2} k d^2$U1​=21​kd2
   • 全力学的エネルギー：$E_1 = \frac{1}{2} k d^2$E1​=21​kd2

2. 原点通過時（$x = 0$x=0、速さ $v$v）

   • 運動エネルギー：$K_2 = \frac{1}{2} m v^2$K2​=21​mv2
   • 弾性エネルギー：$U_2 = 0$U2​=0
   • 全力学的エネルギー：$E_2 = \frac{1}{2} m v^2$E2​=21​mv2

力学的エネルギー保存則 $E_1 = E_2$E1​=E2​ より、次の式が得られます。

$\frac{1}{2} k d^2 = \frac{1}{2} m v^2$21​kd2=21​mv2

速さ $v$v の導出と数値計算

上式を $v$v について解くと、速さ $v$v は次のように求められます。

$v = d \sqrt{\frac{k}{m}}$v=dmk​​

制約で与えられた具体数値を代入します。

• $m = 0.50 \text{ kg}$m=0.50 kg
• $k = 32 \text{ N/m}$k=32 N/m
• $d = 0.15 \text{ m} = \frac{3}{20} \text{ m}$d=0.15 m=203​ m

根号内の計算を行います。

$\sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{32}{0.50}} = \sqrt{64} = 8 \text{ s}^{-1}$mk​​=0.5032​​=64​=8 s−1

したがって、速さ $v$v は次のように計算されます。

$v = 0.15 \times 8 = 1.2 \text{ m/s}$v=0.15×8=1.2 m/s

これを既約分数 $\frac{p}{q}$qp​ の形に変換します。

$v = 1.2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$v=1.2=1012​=56​

分母 $q = 5$q=5 と分子 $p = 6$p=6 は互いに素な自然数です。

求められている値 $p + q$p+q を計算します。

$p + q = 6 + 5 = 11$p+q=6+5=11

したがって、入力すべき自然数は 11 です。