GWCB011 問題5

解説

考え方と立式

小物体と台からなる系全体に着目します。水平方向には外力が働かないため、水平方向の運動量が保存します。また、摩擦や空気抵抗などの非保存力が仕事をしないため、系全体の力学的エネルギーが保存します。

1. 最高点に達したとき 小物体が台の上で最高点に達した瞬間、小物体と台は一体となって同じ水平速度 $u$u で運動します。

   水平方向の運動量保存則より、

   $$m v_0 = (m + M) u \quad \implies \quad u = \frac{m}{m + M} v_0$$mv0​=(m+M)u⟹u=m+Mm​v0​

   力学的エネルギー保存則より、

   $$\frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} (m + M) u^2 + m g h$$21​mv02​=21​(m+M)u2+mgh

   $u$u を代入して $h$h について整理します。

   $$m g h = \frac{1}{2} m v_0^2 - \frac{1}{2} (m + M) \left( \frac{m}{m + M} v_0 \right)^2 = \frac{1}{2} m v_0^2 \left( 1 - \frac{m}{m + M} \right) = \frac{1}{2} m v_0^2 \left( \frac{M}{m + M} \right)$$mgh=21​mv02​−21​(m+M)(m+Mm​v0​)2=21​mv02​(1−m+Mm​)=21​mv02​(m+MM​)

   したがって、最高点の高さ $h$h は次のように求められます。

   $$h = \frac{M v_0^2}{2 (m + M) g}$$h=2(m+M)gMv02​​

2. 小物体が台から分離したとき 分離後の小物体の速度を $v$v（右向き正）、台の速度を $V$V（右向き正）とします。

   運動量保存則より、

   $$m v_0 = m v + M V$$mv0​=mv+MV

   力学的エネルギー保存則より、

   $$\frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} M V^2$$21​mv02​=21​mv2+21​MV2

   運動量保存の式より $v = v_0 - \frac{M}{m} V$v=v0​−mM​V をエネルギー保存の式に代入して整理すると、

   $$\frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} m \left( v_0 - \frac{M}{m} V \right)^2 + \frac{1}{2} M V^2$$21​mv02​=21​m(v0​−mM​V)2+21​MV2 $$0 = -M v_0 V + \frac{1}{2} \frac{M^2}{m} V^2 + \frac{1}{2} M V^2$$0=−Mv0​V+21​mM2​V2+21​MV2

   分離後、台は動き出しているため $V \neq 0$V=0 です。両辺を $M V$MV で割ると、

   $$0 = -v_0 + \frac{1}{2} \left( \frac{M}{m} + 1 \right) V = -v_0 + \frac{m + M}{2 m} V$$0=−v0​+21​(mM​+1)V=−v0​+2mm+M​V

   したがって、分離後の台の速さ $V$V は次のように求められます。

   $$V = \frac{2 m}{m + M} v_0$$V=m+M2m​v0​

計算過程

与えられた数値 $m = 1.00\,\mathrm{kg}$m=1.00kg, $M = 3.00\,\mathrm{kg}$M=3.00kg, $v_0 = 4.00\,\mathrm{m/s}$v0​=4.00m/s, $g = 9.80\,\mathrm{m/s^2}$g=9.80m/s2 を代入します。

1. 最高点の高さ $h$h の計算

   $$h = \frac{3.00 \times (4.00)^2}{2 \times (1.00 + 3.00) \times 9.80} = \frac{3.00 \times 16.0}{2 \times 4.00 \times 9.80} = \frac{48.0}{78.4} = \frac{480}{784} = \frac{30}{49}\,\mathrm{m}$$h=2×(1.00+3.00)×9.803.00×(4.00)2​=2×4.00×9.803.00×16.0​=78.448.0​=784480​=4930​m

   $h = \frac{30}{49}$h=4930​ は既約分数であるため、分子 $p = 30$p=30、分母 $q = 49$q=49 となり、$p + q = 30 + 49 = 79$p+q=30+49=79 です。

2. 分離後の台の速さ $V_0$V0​ の計算

   $$V_0 = \frac{2 \times 1.00}{1.00 + 3.00} \times 4.00 = \frac{2.00}{4.00} \times 4.00 = 2.00\,\mathrm{m/s}$$V0​=1.00+3.002×1.00​×4.00=4.002.00​×4.00=2.00m/s

求める値は $(p + q) \times V_0$(p+q)×V0​ です。

$$(30 + 49) \times 2.00 = 79 \times 2.00 = 158$$(30+49)×2.00=79×2.00=158

したがって、入力すべき自然数は 158 です。