GWCB011 問題4

解説

考え方と立式

自動車は一定の加速度で直線運動（等加速度直線運動）を行っています。

点 $\mathrm{A}$A を通過した瞬間を時刻 $t = 0$t=0 とし、自動車の進行方向を正の向きとします。 点 $\mathrm{A}$A での速さを $v_0$v0​、時刻 $t$t における速さを $v$v、加速度を $a$a とすると、等加速度直線運動の速度と時間の関係式は次のように表されます。

$$v = v_0 + a t$$v=v0​+at

問題の条件より、時刻 $t$t における速さ $v$v は点 $\mathrm{A}$A での速さ $v_0$v0​ の $k$k 倍であるため、

$$v = k v_0$$v=kv0​

となります。これらを等式で結ぶと、加速度 $a$a は次のように求められます。

$$k v_0 = v_0 + a t \quad \implies \quad a = \frac{(k - 1) v_0}{t}$$kv0​=v0​+at⟹a=t(k−1)v0​​

等加速度直線運動における変位（移動距離）$x$x と時間の関係式は、

$$x = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$$x=v0​t+21​at2

です。ここに求めた加速度 $a$a を代入して整理します。

$$x = v_0 t + \frac{1}{2} \left( \frac{(k - 1) v_0}{t} \right) t^2 = v_0 t + \frac{1}{2} (k - 1) v_0 t = \frac{1 + k}{2} v_0 t$$x=v0​t+21​(t(k−1)v0​​)t2=v0​t+21​(k−1)v0​t=21+k​v0​t

なお、この式は「等加速度直線運動における平均の速さ $\bar{v} = \frac{v_0 + v}{2} = \frac{1 + k}{2} v_0$vˉ=2v0​+v​=21+k​v0​」に時間 $t$t を掛け合わせたものに相当します。

計算過程

与えられた数値 $v_0 = 12.0\,\mathrm{m/s}$v0​=12.0m/s, $t = 5.00\,\mathrm{s}$t=5.00s, $k = 2.00$k=2.00 を代入します。

$$x = \frac{1 + 2.00}{2} \times 12.0 \times 5.00 = \frac{3.00}{2} \times 60.0 = 90.0\,\mathrm{m}$$x=21+2.00​×12.0×5.00=23.00​×60.0=90.0m

したがって、入力すべき自然数は 90 です。