GWCB009 問題4

解説

弦を伝わる波の速さ

線密度 $\rho$ρ、張力 $T$T の弦を伝わる横波の伝播速度 $v$v は以下の公式で与えられます。

$v = \sqrt{\frac{T}{\rho}}$v=ρT​​

与えられた制約の値を代入して波の速さ $v$v を求めます。

$v = \sqrt{\frac{270\ \text{N}}{3.00 \times 10^{-3}\ \text{kg/m}}} = \sqrt{90000} = 300\ \text{m/s}$v=3.00×10−3 kg/m270 N​​=90000​=300 m/s

両端固定弦の定常波と波長

両端が固定された長さ $L$L の弦にできる定常波では、両端が必ず節になります。 節の総数が $N$N 個（ただし固定端の2個を含む）であるとき、腹の数は $n = N - 1$n=N−1 個となります。

定常波では、隣り合う節と節の間隔は半波長 $\frac{\lambda}{2}$2λ​ に等しいため、弦の長さ $L$L と波長 $\lambda$λ の間には次の関係が成立します。

$L = n \frac{\lambda}{2} = (N - 1) \frac{\lambda}{2}$L=n2λ​=(N−1)2λ​

条件より $N = 4$N=4 なので、$n = 4 - 1 = 3$n=4−1=3（第3振動）となります。したがって、波長 $\lambda$λ は次のように求まります。

$\lambda = \frac{2L}{N - 1} = \frac{2L}{3}$λ=N−12L​=32L​

制約の $L = 1.20\ \text{m}$L=1.20 m を代入します。

$\lambda = \frac{2 \times 1.20\ \text{m}}{3} = 0.800\ \text{m}$λ=32×1.20 m​=0.800 m

振動数の算出

波の基本式 $v = f \lambda$v=fλ より、振動数 $f$f は次のように表されます。

$f = \frac{v}{\lambda}$f=λv​

求めた波の速さ $v = 300\ \text{m/s}$v=300 m/s と波長 $\lambda = 0.800\ \text{m}$λ=0.800 m を代入します。

$f = \frac{300}{0.800} = \frac{300}{\frac{4}{5}} = \frac{1500}{4} = 375\ \text{Hz}$f=0.800300​=54​300​=41500​=375 Hz

これを既約分数 $\frac{p}{q}$qp​ （$p, q$p,q は互いに素な正の整数）の形で表すと、分母が $1$1 の分数として表現されます。

$f = \frac{375}{1}$f=1375​

（$375$375 と $1$1 は互いに素な正の整数です）

したがって、$p = 375$p=375、$q = 1$q=1 となります。

求めて入力すべき値は以下の通りです。

$p + q = 375 + 1 = 376$p+q=375+1=376

最終的に入力する自然数は 376 です。