GWCB007 問題7

解説

つりあいの位置と振幅の導出

斜面に平行で下向きを正とする $x$x 軸をとり、ばねの自然長の位置を $x = 0$x=0 とします。

小物体には、斜面下向きに重力の斜面成分 $m g \sin\theta$mgsinθ、斜面上向きにばねの復元力 $-k x$−kx が働きます。

つりあいの位置を $x = x_0$x=x0​ とすると、力のつりあい条件より以下のようになります。

$$m g \sin\theta - k x_0 = 0 \implies x_0 = \frac{m g \sin\theta}{k}$$mgsinθ−kx0​=0⟹x0​=kmgsinθ​

小物体は $x = 0$x=0 の位置で静かに放された（初速度 0）ため、この放した位置が運動の端点となります。したがって、単振動の振幅 $A$A は自然長の位置からつりあいの位置までの距離に等しくなります。

$$A = x_0 = \frac{m g \sin\theta}{k}$$A=x0​=kmgsinθ​

単振動の周期の導出

つりあいの位置からの変位を $X = x - x_0$X=x−x0​ とおくと、小物体の運動方程式は以下のようになります。

$$m \frac{d^2 X}{d t^2} = -k X$$mdt2d2X​=−kX

これを角振動数 $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ω=mk​​ の単振動の標準形 $\frac{d^2 X}{d t^2} = -\omega^2 X$dt2d2X​=−ω2X と比較すると、周期 $T$T は次のように求まります。

$$T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$$T=ω2π​=2πkm​​

評価量 $S$S と定数 $\alpha$α の計算

得られた振幅 $A$A と周期 $T$T を量 $S = \frac{T^2 g \sin\theta}{A}$S=AT2gsinθ​ に代入します。

$$T^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k}$$T2=4π2km​ $$S = \frac{\left(4\pi^2 \frac{m}{k}\right) g \sin\theta}{\frac{m g \sin\theta}{k}} = 4\pi^2$$S=kmgsinθ​(4π2km​)gsinθ​=4π2

したがって、$S = 4\pi^2$S=4π2 となり、問題式の $S = \alpha \pi^2$S=απ2 と比較すると定数 $\alpha = 4$α=4 と求まります。

これを既約分数 $\frac{p}{q}$qp​ で表すと $\frac{4}{1}$14​ となるため、$p = 4, q = 1$p=4,q=1 です。

求める自然数の和 $p + q$p+q は以下の通りです。

$$p + q = 4 + 1 = 5$$p+q=4+1=5

最終的に入力すべき自然数は 5 です。