GWCB007 問題6

解説

座標系の設定と働く力

床に対して水平右向きに $x$x 軸、鉛直上向きに $y$y 軸をとります。

小物体が斜面を滑り降りるとき、小物体と台の間には垂直抗力 $N$N が作用します。作用・反作用の法則により、台は小物体から大きさ $N$N の力を斜面に対して垂直（左下向き）に受けます。

運動方程式の立式

床から見た台の水平左向きの加速度の大きさを $a$a とします。

1. 台の水平方向の運動方程式

台には水平左向きに垂直抗力の水平成分 $N \sin\theta$Nsinθ が働くため、運動方程式は次のようになります。

$$M a = N \sin\theta \quad \cdots \text{(1)}$$Ma=Nsinθ⋯(1)

2. 小物体の運動方程式

床から見た小物体の加速度の水平成分を $a_x$ax​（右向き正）、鉛直成分を $a_y$ay​（上向き正）とすると、運動方程式は以下の通りです。

$$m a_x = N \sin\theta \quad \cdots \text{(2)}$$max​=Nsinθ⋯(2) $$m a_y = N \cos\theta - m g \quad \cdots \text{(3)}$$may​=Ncosθ−mg⋯(3)

拘束条件

小物体は常に台の斜面上を運動するため、台から見た小物体の相対加速度は斜面に沿う必要があります。

台に対する小物体の相対加速度の水平成分は $a_x - (-a) = a_x + a$ax​−(−a)=ax​+a、鉛直成分は $a_y$ay​ です。相対加速度が右下がり傾角 $\theta$θ の斜面に沿う条件より、以下の関係式が成り立ちます。

$$\tan\theta = \frac{-a_y}{a_x + a} \implies a_y = -(a_x + a) \tan\theta \quad \cdots \text{(4)}$$tanθ=ax​+a−ay​​⟹ay​=−(ax​+a)tanθ⋯(4)

加速度の導出

式 (1) および式 (2) より、$a_x = \frac{M}{m} a$ax​=mM​a と表せます。これを式 (4) に代入します。

$$a_y = -\left( \frac{M}{m} a + a \right) \tan\theta = -\frac{M + m}{m} a \tan\theta \quad \cdots \text{(5)}$$ay​=−(mM​a+a)tanθ=−mM+m​atanθ⋯(5)

また、式 (1) より $N = \frac{M a}{\sin\theta}$N=sinθMa​ です。これを式 (3) に代入します。

$$m a_y = \frac{M a}{\sin\theta} \cos\theta - m g = \frac{M a}{\tan\theta} - m g \quad \cdots \text{(6)}$$may​=sinθMa​cosθ−mg=tanθMa​−mg⋯(6)

式 (5) を式 (6) の左辺に代入して整理します。

$$-(M + m) a \tan\theta = \frac{M a}{\tan\theta} - m g$$−(M+m)atanθ=tanθMa​−mg

両辺に $\tan\theta$tanθ を掛けます。

$$-(M + m) a \tan^2\theta = M a - m g \tan\theta$$−(M+m)atan2θ=Ma−mgtanθ $$a \left( M + (M + m) \tan^2\theta \right) = m g \tan\theta$$a(M+(M+m)tan2θ)=mgtanθ

両辺に $\cos^2\theta$cos2θ を掛けます。

$$a (M + m \sin^2\theta) = m g \sin\theta \cos\theta$$a(M+msin2θ)=mgsinθcosθ

したがって、台の加速度の大きさ $a$a は次のように求まります。

$$a = \frac{m g \sin\theta \cos\theta}{M + m \sin^2\theta}$$a=M+msin2θmgsinθcosθ​

無次元比 $R$R と値の計算

求めたい比 $R = \frac{a}{g \cos\theta}$R=gcosθa​ は以下のように表されます。

$$R = \frac{m \sin\theta}{M + m \sin^2\theta}$$R=M+msin2θmsinθ​

与えられた制約の値を代入します。

• $M = 3.0 \text{ kg}$M=3.0 kg
• $m = 1.0 \text{ kg}$m=1.0 kg
• $\theta = 30^\circ \implies \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$θ=30∘⟹sin30∘=21​

分子の計算：

$$m \sin\theta = 1.0 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$msinθ=1.0×21​=21​

分母の計算：

$$M + m \sin^2\theta = 3.0 + 1.0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 3 + \frac{1}{4} = \frac{13}{4}$$M+msin2θ=3.0+1.0×(21​)2=3+41​=413​

したがって、無次元比 $R$R は次のようになります。

$$R = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{13}{4}} = \frac{2}{13}$$R=413​21​​=132​

これが既約分数 $\frac{p}{q}$qp​ と表されるため、$p = 2, q = 13$p=2,q=13 となります。

求める自然数の和 $p + q$p+q は以下の通りです。

$$p + q = 2 + 13 = 15$$p+q=2+13=15

最終的に入力すべき自然数は 15 です。