GWCB006 問題5

解説

底面上の位置 $x$x における圧力の立式

傾いた底面に沿って最深部（ $x = 0$x=0 ）から距離 $x$x だけ進んだ位置を考えます。この位置の、最深部からの鉛直上向きの高さは $x \sin\theta$xsinθ と表されます。 最深部の鉛直深さが $H$H であるため、底面上の位置 $x$x における液面からの鉛直深さ $h(x)$h(x) は次のように表されます。

$$h(x) = H - x \sin\theta$$h(x)=H−xsinθ

静止した液体内部の圧力（絶対圧）は、液面からの鉛直深さのみによって決まるため、位置 $x$x における圧力 $P(x)$P(x) は大気圧 $P_0$P0​ を加えて次のようになります。

$$P(x) = P_0 + \rho g (H - x \sin\theta)$$P(x)=P0​+ρg(H−xsinθ)

底面全体の長さの決定

液体が底面全体を覆っているときの、底面の有効な全体の長さ $L$L を求めます。液面と底面が交わる位置では鉛直深さが $0$0 となるため、 $h(L) = 0$h(L)=0 より次のようになります。

$$H - L \sin\theta = 0 \implies L = \frac{H}{\sin\theta}$$H−Lsinθ=0⟹L=sinθH​

底面全体が受ける力の積分

底面上の位置 $x$x における微小な長さ $dx$dx の領域を考えます。この領域の面積 $dA$dA は、容器の幅 $W$W を用いて $dA = W dx$dA=Wdx と表されます。 この微小面が液体から受ける垂直な微小な力 $dF$dF は、圧力と面積の積になります。

$$dF = P(x) dA = [ P_0 + \rho g (H - x \sin\theta) ] W dx$$dF=P(x)dA=[P0​+ρg(H−xsinθ)]Wdx

底面全体が受ける全圧力による垂直な力の大きさ $F$F は、これを $x = 0$x=0 から $x = L$x=L まで積分することで求められます。

$$F = \int_{0}^{L} W [ P_0 + \rho g H - \rho g \sin\theta \cdot x ] dx$$F=∫0L​W[P0​+ρgH−ρgsinθ⋅x]dx $$F = W \left[ (P_0 + \rho g H)x - \frac{1}{2}\rho g \sin\theta \cdot x^2 \right]_{0}^{L}$$F=W[(P0​+ρgH)x−21​ρgsinθ⋅x2]0L​ $$F = W \left[ (P_0 + \rho g H)L - \frac{1}{2}\rho g \sin\theta \cdot L^2 \right]$$F=W[(P0​+ρgH)L−21​ρgsinθ⋅L2]

ここで、 $L = \frac{H}{\sin\theta}$L=sinθH​ を代入して整理します。

$$F = W \left[ (P_0 + \rho g H)\frac{H}{\sin\theta} - \frac{1}{2}\rho g \sin\theta \left(\frac{H}{\sin\theta}\right)^2 \right]$$F=W[(P0​+ρgH)sinθH​−21​ρgsinθ(sinθH​)2] $$F = W \left[ \frac{P_0 H}{\sin\theta} + \frac{\rho g H^2}{\sin\theta} - \frac{1}{2}\frac{\rho g H^2}{\sin\theta} \right]$$F=W[sinθP0​H​+sinθρgH2​−21​sinθρgH2​] $$F = \frac{W H}{\sin\theta} \left( P_0 + \frac{1}{2}\rho g H \right)$$F=sinθWH​(P0​+21​ρgH)

数値の代入

制約欄の数値を代入します。 $\theta = \frac{\pi}{6}$θ=6π​ より、 $\sin\theta = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} = 0.500$sinθ=sin(6π​)=21​=0.500 です。

まず、括弧の中の圧力の平均値を計算します。

$$\frac{1}{2}\rho g H = \frac{1}{2} \times (1.00 \times 10^{3} \text{ kg/m}^{3}) \times (9.80 \text{ m/s}^{2}) \times (2.00 \text{ m}) = 9.80 \times 10^{3} \text{ Pa} = 0.0980 \times 10^{5} \text{ Pa}$$21​ρgH=21​×(1.00×103 kg/m3)×(9.80 m/s2)×(2.00 m)=9.80×103 Pa=0.0980×105 Pa $$P_0 + \frac{1}{2}\rho g H = 1.00 \times 10^{5} \text{ Pa} + 0.0980 \times 10^{5} \text{ Pa} = 1.098 \times 10^{5} \text{ Pa}$$P0​+21​ρgH=1.00×105 Pa+0.0980×105 Pa=1.098×105 Pa

次に、全体の力の大きさ $F$F を計算します。

$$F = \frac{0.500 \text{ m} \times 2.00 \text{ m}}{0.500} \times (1.098 \times 10^{5} \text{ Pa})$$F=0.5000.500 m×2.00 m​×(1.098×105 Pa) $$F = 2.00 \times 1.098 \times 10^{5} = 2.196 \times 10^{5} = 219600 \text{ N}$$F=2.00×1.098×105=2.196×105=219600 N

したがって、底面全体が液体から受ける力の大きさは $219600 \text{ N}$219600 N となります。

解答:219600