GWCB006 問題4

タイトル

大気圧の変化と容器内の気体の体積変化

問題文

大気中において、なめらかに動く断面積 $S$S のピストンを備えた鉛直なシリンダーが固定されている。シリンダー内には一定量の理想気体が閉じ込められており、ピストンの上方は大気に接している。ピストンの質量は $M$M であり、無視できない。

最初、大気圧が $P_A$PA​ だったとき、気体は温度 $T_1$T1​、体積 $V_1$V1​ で静止して熱平衡状態に達していた。 その後、周囲の気象条件が変化して大気圧が $P_B$PB​ になり、同時にシリンダー内の気体の温度も $T_2$T2​ に変化したところ、ピストンは移動し、気体は体積 $V_2$V2​ で再び静止して熱平衡状態に達した。

重力加速度の大きさを $g$g とするとき、気体の体積の比 $\frac{V_2}{V_1}$V1​V2​​ を求めよ。

制約

• $P_A = 1.01 \times 10^{5} \text{ Pa}$PA​=1.01×105 Pa
• $P_B = 9.70 \times 10^{4} \text{ Pa}$PB​=9.70×104 Pa
• $M = 3.00 \text{ kg}$M=3.00 kg
• $g = 9.80 \text{ m/s}^{2}$g=9.80 m/s2
• $S = 7.00 \times 10^{-4} \text{ m}^{2}$S=7.00×10−4 m2
• $T_1 = 3.00 \times 10^{2} \text{ K}$T1​=3.00×102 K
• $T_2 = 2.90 \times 10^{2} \text{ K}$T2​=2.90×102 K

入力形式

体積の比 $\frac{V_2}{V_1}$V1​V2​​ を既約分数 $\frac{p}{q}$qp​ （ $p, q$p,q は互いに素な自然数）で表したとき、分子と分母の和 $p + q$p+q の値を入力せよ。

解説

変化前の力のつり合いと圧力（状態1）

最初の大気圧が $P_A$PA​ のとき、ピストンにはたらく鉛直方向の力のつり合いを考えます。 鉛直下向きにはたらく力は、大気から受ける力 $P_A S$PA​S と、ピストン自体の重力 $Mg$Mg です。 鉛直上向きにはたらく力は、シリンダー内の気体から受ける力 $P_1 S$P1​S です（ $P_1$P1​ は状態1の気体の圧力）。

力のつり合いより、次の式が成り立ちます。

$$P_1 S = P_A S + Mg$$P1​S=PA​S+Mg

両辺を $S$S で割ると、状態1の気体の圧力 $P_1$P1​ が得られます。

$$P_1 = P_A + \frac{Mg}{S}$$P1​=PA​+SMg​

変化後の力のつり合いと圧力（状態2）

大気圧が $P_B$PB​ に変化したあとも、ピストンはなめらかに動いて再び静止するため、同様の力のつり合いが成り立ちます。状態2の気体の圧力を $P_2$P2​ とすると、次のようになります。

$$P_2 = P_B + \frac{Mg}{S}$$P2​=PB​+SMg​

各状態の圧力の数値計算

ピストンの質量による圧力の加算分 $\frac{Mg}{S}$SMg​ を計算します。

$$\frac{Mg}{S} = \frac{3.00 \text{ kg} \times 9.80 \text{ m/s}^{2}}{7.00 \times 10^{-4} \text{ m}^{2}} = \frac{29.4}{7.00 \times 10^{-4}} = 4.20 \times 10^{4} \text{ Pa}$$SMg​=7.00×10−4 m23.00 kg×9.80 m/s2​=7.00×10−429.4​=4.20×104 Pa

これを用いて、 $P_1$P1​ と $P_2$P2​ の具体的な値を求めます。

$$P_1 = 1.01 \times 10^{5} \text{ Pa} + 0.420 \times 10^{5} \text{ Pa} = 1.43 \times 10^{5} \text{ Pa}$$P1​=1.01×105 Pa+0.420×105 Pa=1.43×105 Pa $$P_2 = 0.970 \times 10^{5} \text{ Pa} + 0.420 \times 10^{5} \text{ Pa} = 1.39 \times 10^{5} \text{ Pa}$$P2​=0.970×105 Pa+0.420×105 Pa=1.39×105 Pa

理想気体の状態方程式の適用

閉じ込められた気体の物質量は変化しないため、状態1と状態2の間でボイル・シャルルの法則（または状態方程式の比較）が成り立ちます。

$$\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$$T1​P1​V1​​=T2​P2​V2​​

これを求めたい体積の比 $\frac{V_2}{V_1}$V1​V2​​ について整理します。

$$\frac{V_2}{V_1} = \frac{P_1}{P_2} \times \frac{T_2}{T_1}$$V1​V2​​=P2​P1​​×T1​T2​​

比の計算と自然数化

各数値を代入して比を計算します。

$$\frac{V_2}{V_1} = \frac{1.43 \times 10^{5} \text{ Pa}}{1.39 \times 10^{5} \text{ Pa}} \times \frac{2.90 \times 10^{2} \text{ K}}{3.00 \times 10^{2} \text{ K}} = \frac{143}{139} \times \frac{29}{30}$$V1​V2​​=1.39×105 Pa1.43×105 Pa​×3.00×102 K2.90×102 K​=139143​×3029​

分子と分母の掛け算を行います。

$$\text{分子} = 143 \times 29 = 4147$$分子=143×29=4147 $$\text{分母} = 139 \times 30 = 4170$$分母=139×30=4170

したがって、体積の比は以下のようになります。

$$\frac{V_2}{V_1} = \frac{4147}{4170}$$V1​V2​​=41704147​

$139$139 と $143$143 は共通の因数を持たず（ $139$139 は素数、 $143 = 11 \times 13$143=11×13）、 $29$29 と $30$30 も互いに素であるため、この分数は既約分数 $\frac{p}{q}$qp​ となります。 よって、 $p = 4147$p=4147, $q = 4170$q=4170 です。

入力形式に従い、分子と分母の和 $p + q$p+q を計算します。

$$4147 + 4170 = 8317$$4147+4170=8317

解答:8317