GWCB005 問題7

解説

基準面の選定と圧力の等価性

静止した同じ液体（ここでは液体1）の内部において、同じ高さにある点の圧力は等しくなります。 問題文で指定された「左側の管における液体1と液体2の境界（界面）がある水平面」を基準面として考えます。

• 点A（左側の管）: 液体1と液体2の境界がある点。
• 点B（右側の管）: 点Aと同じ高さにある、液体1の中の点。

液体1はU字管の底部を通じて左右でつながっており、静止しているため、これら2点の絶対圧は等しくなります。

$$P_{\text{A}} = P_{\text{B}} = P$$PA​=PB​=P

したがって、右側の管の点Bにおける絶対圧 $P$P を求めるために、左側の管の点Aにおける圧力 $P_{\text{A}}$PA​ を立式して計算します。

各管の液柱の高さの幾何学的関係

左右の管の最上面（大気との界面）は同じ高さにあります。 右側の管では、上面から厚さ $h$h の液体3の層があり、その下が液体1になっています。 液体1と液体3の境界から、さらに距離 $d$d だけ下がった位置が基準面（点Bの高さ）です。

一方、左側の管では、上面から基準面（点A）までがすべて液体2で満たされています。 右側の管の幾何学的関係から、上面から基準面までの全鉛直距離は $(h + d)$(h+d) となります。 左右の上面の高さが等しいため、左側の管にある液体2の液柱の高さ $h_2$h2​ もこれに等しくなります。

$$h_2 = h + d$$h2​=h+d

密度の関係式の導出

左側の管の点Aにおける絶対圧 $P_{\text{A}}$PA​ は、大気圧 $P_0$P0​ に高さ $h_2$h2​ の液体2による圧力を加えたものです。

$$P_{\text{A}} = P_0 + \rho_2 g (h + d)$$PA​=P0​+ρ2​g(h+d)

右側の管の点Bにおける絶対圧 $P_{\text{B}}$PB​ は、大気圧 $P_0$P0​ に高さ $h$h の液体3による圧力、および厚さ $d$d の液体1による圧力を加えたものです。

$$P_{\text{B}} = P_0 + \rho_3 gh + \rho_1 gd$$PB​=P0​+ρ3​gh+ρ1​gd

$P_{\text{A}} = P_{\text{B}}$PA​=PB​ より、次のつり合いの式が成り立ちます。

$$P_0 + \rho_2 g (h + d) = P_0 + \rho_3 gh + \rho_1 gd$$P0​+ρ2​g(h+d)=P0​+ρ3​gh+ρ1​gd

両辺から $P_0$P0​ を引き、 $g$g で割ると、各液体の密度と高さの関係式が得られます。

$$\rho_2 (h + d) = \rho_3 h + \rho_1 d$$ρ2​(h+d)=ρ3​h+ρ1​d

この問題では、右側の管の点Bにおける圧力 $P$P を直接求めればよいため、 $P = P_0 + \rho_3 gh + \rho_1 gd$P=P0​+ρ3​gh+ρ1​gd の式にそのまま数値を代入することで解答が得られます（液体2の密度 $\rho_2$ρ2​ を経由する必要はありません）。

数値の代入

制約欄の数値を圧力の式に代入します。

まず、液体3による圧力分を計算します。

$$\rho_3 gh = (8.00 \times 10^{2} \text{ kg/m}^{3}) \times (9.80 \text{ m/s}^{2}) \times (2.00 \times 10^{-1} \text{ m}) = 1.568 \times 10^{3} \text{ Pa}$$ρ3​gh=(8.00×102 kg/m3)×(9.80 m/s2)×(2.00×10−1 m)=1.568×103 Pa

次に、液体1による圧力分（厚さ $d$d の部分）を計算します。

$$\rho_1 gd = (1.00 \times 10^{3} \text{ kg/m}^{3}) \times (9.80 \text{ m/s}^{2}) \times (5.00 \times 10^{-2} \text{ m}) = 4.90 \times 10^{2} \text{ Pa} = 0.490 \times 10^{3} \text{ Pa}$$ρ1​gd=(1.00×103 kg/m3)×(9.80 m/s2)×(5.00×10−2 m)=4.90×102 Pa=0.490×103 Pa

これらを足し合わせて、基準面における液圧の合計を求めます。

$$\rho_3 gh + \rho_1 gd = 1.568 \times 10^{3} \text{ Pa} + 0.490 \times 10^{3} \text{ Pa} = 2.058 \times 10^{3} \text{ Pa}$$ρ3​gh+ρ1​gd=1.568×103 Pa+0.490×103 Pa=2.058×103 Pa

大気圧 $P_0 = 1.01 \times 10^{5} \text{ Pa} = 101.0 \times 10^{3} \text{ Pa}$P0​=1.01×105 Pa=101.0×103 Pa を加えて、全体の絶対圧 $P$P を算出します。

$$P = 101.0 \times 10^{3} \text{ Pa} + 2.058 \times 10^{3} \text{ Pa} = 103.058 \times 10^{3} \text{ Pa} = 103058 \text{ Pa}$$P=101.0×103 Pa+2.058×103 Pa=103.058×103 Pa=103058 Pa

したがって、求める絶対圧は $103058 \text{ Pa}$103058 Pa となります。

解答:103058