GWCB005 問題6

解説

物体が複数の異なる流体にまたがって静止している場合でも、それぞれの流体に沈んでいる部分の体積が排除した流体の重さの総和が、物体が受ける全体の浮力になります。

物体の全体の体積 $V$ は、一辺の長さが $L$ の立方体であるため次のように表されます。

V = L^3

問題文より、物体の下側の $\frac{2}{5}$ が液体Bに沈んでいるため、液体Bに沈んでいる部分の体積 $V_{\text{B}}$ は以下の通りです。

V_{\text{B}} = \frac{2}{5}L^3

したがって、残りの上側の $\frac{3}{5}$ は液体Aに沈んでいるため、液体Aに沈んでいる部分の体積 $V_{\text{A}}$ は以下のようになります。

V_{\text{A}} = L^3 - \frac{2}{5}L^3 = \frac{3}{5}L^3

物体が液体Aから受ける上向きの浮力の大きさ $F_{\text{A}}$ は、排除した液体Aの重さに等しいため、次のようになります。

F_{\text{A}} = \rho_{\text{A}} V_{\text{A}} g = \rho_{\text{A}} \left(\frac{3}{5}L^3\right) g

同様に、物体が液体Bから受ける上向きの浮力の大きさ $F_{\text{B}}$ は、排除した液体Bの重さに等しいため、次のようになります。

F_{\text{B}} = \rho_{\text{B}} V_{\text{B}} g = \rho_{\text{B}} \left(\frac{2}{5}L^3\right) g

物体が受ける全体の浮力の大きさ $F$ は、これら2つの浮力の和になります。

F = F_{\text{A}} + F_{\text{B}} = \frac{1}{5} L^3 g (3\rho_{\text{A}} + 2\rho_{\text{B}})

得られた式に、制約欄の数値を代入します。

まず、括弧の中の密度に関する計算を行います。

3\rho_{\text{A}} + 2\rho_{\text{B}} = 3 \times (8.00 \times 10^{2}) + 2 \times (1.00 \times 10^{3}) = 24.0 \times 10^{2} + 20.0 \times 10^{2} = 44.0 \times 10^{2} \text{ kg/m}^{3}

次に、全体の浮力 $F$ を計算します。 $L = 0.500 = \frac{1}{2}$ であることを利用すると計算がスムーズになります。

L^3 = (0.500 \text{ m})^3 = 0.125 \text{ m}^3 = \frac{1}{8} \text{ m}^3

F = \frac{1}{5} \times \frac{1}{8} \times 9.80 \times (44.0 \times 10^{2})

F = \frac{1}{40} \times 9.80 \times 4400 = \frac{4400}{40} \times 9.80 = 110 \times 9.80

F = 1078 \text{ N}

計算結果の $1078$ は整数ですので、分数形式 $\frac{p}{q}$ で表すと次のようになります。

\frac{p}{q} = \frac{1078}{1}

$1078$ と $1$ は互いに素な自然数であるため、 $p = 1078$ , $q = 1$ と定まります。入力すべき値は、分子と分母の積 $p \times q$ です。

1078 \times 1 = 1078

解答:1078