GWCB005 問題4

解説

圧力の等しい基準面の選定

U字管に注入された2つの液体が静止しているとき、同じ液体内で同じ高さにある点の圧力は等しくなります。 左側の管にある「液体1と液体2の境界（界面）」と同じ高さにある右側の管の点を基準面（点Aと点B）として考えます。

• 点A：左側の管の、液体1と液体2の境界がある位置（深さ）
• 点B：右側の管の、点Aと同じ水平面上にある位置

液体1はU字管の底部を通じて左右でつながっており、静止しているため、点Aにおける圧力 $P_{\text{A}}$PA​ と点Bにおける圧力 $P_{\text{B}}$PB​ は等しくなります。

$$P_{\text{A}} = P_{\text{B}}$$PA​=PB​

各点における圧力の立式

大気圧を $P_0$P0​ とします。

左側の管の点Aの上には、密度 $\rho_2$ρ2​ の液体2の柱が乗っています。この液体2の柱の高さは、図の幾何学的関係から $(h + d)$(h+d) と表されます。したがって、点Aにおける圧力 $P_{\text{A}}$PA​ は次のようになります。

$$P_{\text{A}} = P_0 + \rho_2 g (h + d)$$PA​=P0​+ρ2​g(h+d)

右側の管の点Bの上には、密度 $\rho_1$ρ1​ の液体1の柱が乗っています。点Bから液体1の上面までの高さは $d$d であるため、点Bにおける圧力 $P_{\text{B}}$PB​ は次のようになります。

$$P_{\text{B}} = P_0 + \rho_1 g d$$PB​=P0​+ρ1​gd

密度の関係式の導出

$P_{\text{A}} = P_{\text{B}}$PA​=PB​ より、次のつり合いの式が成り立ちます。

$$P_0 + \rho_2 g (h + d) = P_0 + \rho_1 g d$$P0​+ρ2​g(h+d)=P0​+ρ1​gd

両辺から $P_0$P0​ を引き、さらに $g$g で割ると次のようになります。

$$\rho_2 (h + d) = \rho_1 d$$ρ2​(h+d)=ρ1​d

これを $\rho_2$ρ2​ について解くことで、液体2の密度を表す式が得られます。

$$\rho_2 = \frac{d}{h + d} \rho_1$$ρ2​=h+dd​ρ1​

数値の代入

制約欄の数値を代入します。まず分母の $(h + d)$(h+d) を計算します。

$$h + d = 0.0600 \text{ m} + 0.240 \text{ m} = 0.300 \text{ m}$$h+d=0.0600 m+0.240 m=0.300 m

これを $\rho_2$ρ2​ の式に代入します。

$$\rho_2 = \frac{0.240 \text{ m}}{0.300 \text{ m}} \times (1.00 \times 10^{3} \text{ kg/m}^{3})$$ρ2​=0.300 m0.240 m​×(1.00×103 kg/m3) $$\rho_2 = \frac{4}{5} \times 1000 = 0.800 \times 10^{3} = 800 \text{ kg/m}^{3}$$ρ2​=54​×1000=0.800×103=800 kg/m3

したがって、求める液体2の密度は $800 \text{ kg/m}^{3}$800 kg/m3 となります。

解答:800