GWCB005 問題3

解説

おもりがあるときの力のつり合い（状態1）

最初、質量 $M$M のおもりを載せたピストンが静止しているとき、ピストンにはたらく鉛直方向の力のつり合いを考えます。ピストンの質量は無視できます。

鉛直下向きにはたらく力は、大気から受ける力 $P_0 S$P0​S と、おもりから受ける重力 $Mg$Mg です。 鉛直上向きにはたらく力は、シリンダー内の気体から受ける力 $P_1 S$P1​S です。

したがって、力のつり合いの式は次のようになります。

$$P_1 S = P_0 S + Mg$$P1​S=P0​S+Mg

両辺を $S$S で割ると、おもりがあるときの気体の圧力 $P_1$P1​ の式が得られます。

$$P_1 = P_0 + \frac{Mg}{S}$$P1​=P0​+SMg​

おもりを取り去ったときの力のつり合い（状態2）

次に、おもりを取り去ったあと、ピストンが再び静止した状態を考えます。

鉛直下向きにはたらく力は大気から受ける力 $P_0 S$P0​S のみとなり、鉛直上向きにはたらく力はシリンダー内の気体から受ける力 $P_2 S$P2​S です。

したがって、力のつり合いの式は次のようになります。

$$P_2 S = P_0 S$$P2​S=P0​S

両辺を $S$S で割ることで、おもりがないときの気体の圧力 $P_2$P2​ は大気圧に等しくなることがわかります。

$$P_2 = P_0$$P2​=P0​

数値の代入

まず、おもりによる圧力の増加分 $\frac{Mg}{S}$SMg​ を計算します。

$$\frac{Mg}{S} = \frac{5.00 \text{ kg} \times 9.80 \text{ m/s}^{2}}{7.00 \times 10^{-4} \text{ m}^{2}} = \frac{49.0}{7.00 \times 10^{-4}} = 7.00 \times 10^{4} \text{ Pa}$$SMg​=7.00×10−4 m25.00 kg×9.80 m/s2​=7.00×10−449.0​=7.00×104 Pa

大気圧 $P_0 = 1.00 \times 10^{5} \text{ Pa} = 10.0 \times 10^{4} \text{ Pa}$P0​=1.00×105 Pa=10.0×104 Pa であるため、それぞれの圧力は以下のようになります。

$$P_2 = P_0 = 10.0 \times 10^{4} \text{ Pa}$$P2​=P0​=10.0×104 Pa $$P_1 = 10.0 \times 10^{4} \text{ Pa} + 7.00 \times 10^{4} \text{ Pa} = 17.0 \times 10^{4} \text{ Pa}$$P1​=10.0×104 Pa+7.00×104 Pa=17.0×104 Pa

比の計算と自然数化

圧力の比 $\frac{P_1}{P_2}$P2​P1​​ を求めます。

$$\frac{P_1}{P_2} = \frac{17.0 \times 10^{4} \text{ Pa}}{10.0 \times 10^{4} \text{ Pa}} = \frac{17}{10}$$P2​P1​​=10.0×104 Pa17.0×104 Pa​=1017​

$17$17 と $10$10 は共通の因数を持たないため、これが既約分数 $\frac{p}{q}$qp​ となります。 したがって、 $p = 17$p=17, $q = 10$q=10 です。

入力形式に従い、分子と分母の和 $p + q$p+q を計算します。

$$17 + 10 = 27$$17+10=27

解答:27