GWCB005 問題2

解説

水圧の公式の導出と立式

水面から深さ $h$h までの間にある、底面積 $S$S の鉛直な水の柱（水柱）を考えます。この水柱が静止していることから、鉛直方向の力のつり合いの式を立てます。

水柱にはたらく鉛直下向きの力は、上面（水面）が大気から受ける力 $P_0 S$P0​S と、水柱自体の重みです。水柱の体積は $Sh$Sh であるため、その質量は $\rho Sh$ρSh となり、重力の大きさは $\rho Shg$ρShg です。 一方、水柱にはたらく鉛直上向きの力は、底面が周囲の水から受ける力 $PS$PS です。

鉛直方向の力のつり合いより、次の式が成り立ちます。

$$PS = P_0 S + \rho Shg$$PS=P0​S+ρShg

両辺を $S$S で割ることで、深さ $h$h における水圧 $P$P の式が得られます。

$$P = P_0 + \rho gh$$P=P0​+ρgh

数値の代入

得られた式に、制約欄で与えられた数値を代入して水圧 $P$P を計算します。

$$\rho gh = (1.00 \times 10^{3} \text{ kg/m}^{3}) \times (9.80 \text{ m/s}^{2}) \times (15.0 \text{ m}) = 1.47 \times 10^{5} \text{ Pa}$$ρgh=(1.00×103 kg/m3)×(9.80 m/s2)×(15.0 m)=1.47×105 Pa

大気圧 $P_0$P0​ は $9.80 \times 10^{4} \text{ Pa} = 0.980 \times 10^{5} \text{ Pa}$9.80×104 Pa=0.980×105 Pa であるため、水圧 $P$P は以下のようになります。

$$P = 0.980 \times 10^{5} \text{ Pa} + 1.47 \times 10^{5} \text{ Pa} = 2.45 \times 10^{5} \text{ Pa}$$P=0.980×105 Pa+1.47×105 Pa=2.45×105 Pa

比の計算と自然数化

大気圧に対する水圧の比 $\frac{P}{P_0}$P0​P​ を計算します。

$$\frac{P}{P_0} = \frac{2.45 \times 10^{5} \text{ Pa}}{0.980 \times 10^{4} \text{ Pa} \times 10} = \frac{24.5 \times 10^{4}}{9.80 \times 10^{4}} = \frac{245}{98}$$P0​P​=0.980×104 Pa×102.45×105 Pa​=9.80×10424.5×104​=98245​

分子と分母をそれぞれ共通の因数である $49$49 で割ることで、既約分数を求めます。

$$\frac{245}{98} = \frac{49 \times 5}{49 \times 2} = \frac{5}{2}$$98245​=49×249×5​=25​

したがって、既約分数 $\frac{p}{q}$qp​ は $\frac{5}{2}$25​ となり、 $p = 5$p=5, $q = 2$q=2 と定まります。 入力すべき値は、分子と分母の和 $p + q$p+q です。

$$5 + 2 = 7$$5+2=7

解答:7