GWCA004 問題5

解説

1. 運動方程式の立式と移動距離 $x$x の導出

時刻 $t$t において導体棒が速度 $v(t)$v(t) で右向きに運動しているとき、回路に発生する誘導起電力の大きさ $V$V は $V = B L v$V=BLv です。 抵抗 $R$R を流れる誘導電流 $I$I はオームの法則より $I = \frac{V}{R} = \frac{B L v}{R}$I=RV​=RBLv​ となり、導体棒が受けるアンペール力の大きさは $F = I L B = \frac{B^2 L^2 v}{R}$F=ILB=RB2L2v​ となります。

運動を妨げる向き（左向き）に力が働くため、導体棒の運動方程式は以下のようになります。

$m \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = - \frac{B^2 L^2}{R} v$mdtdv​=−RB2L2​v

この運動方程式の両辺を時刻 $t=0$t=0 から静止する $t=\infty$t=∞ まで時間積分します。

$m \int_0^\infty \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} \mathrm{d}t = - \frac{B^2 L^2}{R} \int_0^\infty v(t) \mathrm{d}t$m∫0∞​dtdv​dt=−RB2L2​∫0∞​v(t)dt

左辺は $m [v(\infty) - v(0)] = m(0 - v_0) = -m v_0$m[v(∞)−v(0)]=m(0−v0​)=−mv0​ です。 右辺の積分は全移動距離 $x = \int_0^\infty v(t) \mathrm{d}t$x=∫0∞​v(t)dt に等しいため、以下の関係が得られます。

$- m v_0 = - \frac{B^2 L^2}{R} x \quad \implies \quad x = \frac{m v_0 R}{B^2 L^2}$−mv0​=−RB2L2​x⟹x=B2L2mv0​R​

2. 各項の計算

第1項 $X$X の導出：

エネルギー保存則より、初運動エネルギーがすべて発生熱 $Q$Q に変換されるため、$Q = \frac{1}{2} m v_0^2$Q=21​mv02​ となります。 したがって、無次元比 $X$X は以下のようになります。

$X = \frac{Q}{m v_0^2} = \frac{\frac{1}{2} m v_0^2}{m v_0^2} = \frac{1}{2}$X=mv02​Q​=mv02​21​mv02​​=21​

第2項 $Y$Y の導出：

移動距離 $x = \frac{m v_0 R}{B^2 L^2}$x=B2L2mv0​R​ を代入して量 $Y = \frac{B L x}{m v_0 / R}$Y=mv0​/RBLx​ を計算します。

$Y = \frac{B L \cdot \left( \frac{m v_0 R}{B^2 L^2} \right)}{\frac{m v_0}{R}} = \frac{\frac{m v_0 R}{B L}}{\frac{m v_0}{R}} = \frac{R^2}{B L}$Y=Rmv0​​BL⋅(B2L2mv0​R​)​=Rmv0​​BLmv0​R​​=BLR2​

制約欄で与えられた値を代入します：

• $R = 2.0 \ \Omega$R=2.0 Ω
• $B = 0.80 \text{ T}$B=0.80 T
• $L = 0.50 \text{ m}$L=0.50 m

$Y = \frac{(2.0)^2}{0.80 \times 0.50} = \frac{4.0}{0.40} = 10$Y=0.80×0.50(2.0)2​=0.404.0​=10

3. 和 $X + Y$X+Y と分子分母の計算

求めた $X = \frac{1}{2}$X=21​ と $Y = 10$Y=10 の和を計算します。

$X + Y = \frac{1}{2} + 10 = \frac{21}{2}$X+Y=21​+10=221​

この結果は既約分数 $\frac{p}{q}$qp​ の形で表され、分子 $p = 21$p=21、分母 $q = 2$q=2（$p, q$p,q は互いに素な自然数）となります。

したがって、求める分子と分母の和 $p + q$p+q は以下の通りです。

$p + q = 21 + 2 = 23$p+q=21+2=23

解答

入力すべき値：23