GWCA003 問題3

解説

地表面重力加速度 $g$g の決定

惑星の諸元から、地表面近傍における重力加速度の大きさ $g$g を計算します。

$g = \frac{GM}{R^2} = \frac{(7.00 \times 10^{-11} \text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2) \times (9.00 \times 10^{22} \text{ kg})}{(1.00 \times 10^6 \text{ m})^2} = \frac{6.30 \times 10^{12}}{1.00 \times 10^{12}} = 6.30 \text{ m/s}^2$g=R2GM​=(1.00×106 m)2(7.00×10−11 N⋅m2/kg2)×(9.00×1022 kg)​=1.00×10126.30×1012​=6.30 m/s2

粒子に働く力と運動量・加速度の関係

鉛直上向きを $z$z 軸の正の向きとし、粒子 $\text{N}$N に働く外力を精査します。

1. 重力（万有引力）: 通常の正の質量をもつ物体が受ける重力は下向き（ $-mg\hat{\boldsymbol{z}}$−mgz^ ）ですが、本粒子は質量が $m < 0$m<0 であるため、

   $F_{\text{grav}} = m(-g) = -mg > 0$Fgrav​=m(−g)=−mg>0

   となり、重力は $z$z 軸の正の向き（上向きの斥力）に働きます。

2. 静電気力: 電場は鉛直上向き（ $E\hat{\boldsymbol{z}}$Ez^ ）に印加されており、粒子の電荷は $q > 0$q>0 であるため、受ける静電気力も $z$z 軸の正の向き（上向き）になります。

   $F_{\text{elec}} = qE > 0$Felec​=qE>0

したがって、粒子 $\text{N}$N に働く $z$z 軸方向の一様な合力 $F$F は、上向きを正として次のようになります。

$F = -mg + qE$F=−mg+qE

各数値を代入すると、

$-mg = -(-2.00 \times 10^{-30} \text{ kg}) \times 6.30 \text{ m/s}^2 = 1.26 \times 10^{-29} \text{ N}$−mg=−(−2.00×10−30 kg)×6.30 m/s2=1.26×10−29 N

$qE = (1.60 \times 10^{-19} \text{ C}) \times (7.125 \times 10^{-11} \text{ N/C}) = 1.14 \times 10^{-29} \text{ N}$qE=(1.60×10−19 C)×(7.125×10−11 N/C)=1.14×10−29 N

$F = 1.26 \times 10^{-29} + 1.14 \times 10^{-29} = 2.40 \times 10^{-29} \text{ N} > 0$F=1.26×10−29+1.14×10−29=2.40×10−29 N>0

合力 $F$F は正（上向き）です。

ここで、相対論的運動量は $p = \gamma m v$p=γmv で定義されます。粒子は上向きに運動（ $v > 0$v>0 ）しているため、質量 $m < 0$m<0 を持つこの粒子の運動量は**下向き（ $p < 0$p<0 ）**になります。 運動方程式 $\frac{dp}{dt} = F$dtdp​=F より、上向きの力 $F > 0$F>0 を受け続けることで、負の運動量 $p < 0$p<0 は時間の経過とともに増加して $0$0 に近づきます。運動量 $p$p が $0$0 に向かうことは、上向きの速度 $v$v が減少することを意味するため、粒子は正しく減速して最高点（ $v = 0 \implies p = 0$v=0⟹p=0 ）に到達します。

相対論的エネルギー保存則の適用

一様な力 $F$F が作用する場を運動する粒子の、位置 $z$z と速度 $v$v に関する相対論的エネルギー保存則は次のように表されます。

$\gamma m c^2 - F z = \text{一定}$γmc2−Fz=一定

初期状態（ $z = 0, v = v_0$z=0,v=v0​ ）での全エネルギー：

$E_{\text{init}} = \gamma_0 m c^2 = \frac{m c^2}{\sqrt{1 - \left(\frac{v_0}{c}\right)^2}}$Einit​=γ0​mc2=1−(cv0​​)2​mc2​

最高点状態（ $z = h, v = 0$z=h,v=0 ）での全エネルギー（最高点では $\gamma = 1$γ=1 ）：

$E_{\text{final}} = m c^2 - F h$Efinal​=mc2−Fh

エネルギー保存則 $E_{\text{init}} = E_{\text{final}}$Einit​=Efinal​ より、

$\frac{m c^2}{\sqrt{1 - \left(\frac{v_0}{c}\right)^2}} = m c^2 - F h$1−(cv0​​)2​mc2​=mc2−Fh

これを最高点 $h$h について解きます。

$F h = m c^2 \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{1 - \left(\frac{v_0}{c}\right)^2}} \right)$Fh=mc2(1−1−(cv0​​)2​1​)

$h = \frac{m c^2}{F} \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{1 - \left(\frac{v_0}{c}\right)^2}} \right)$h=Fmc2​(1−1−(cv0​​)2​1​)

各項の数値計算

1. 速度比 $\beta$β とローレンツ因子

   $\beta = \frac{v_0}{c} = \frac{4.80 \times 10^7 \text{ m/s}}{8.00 \times 10^7 \text{ m/s}} = 0.60 = \frac{3}{5}$β=cv0​​=8.00×107 m/s4.80×107 m/s​=0.60=53​

   $\sqrt{1 - \beta^2} = \sqrt{1 - 0.36} = 0.80 = \frac{4}{5}$1−β2​=1−0.36​=0.80=54​

   したがって、カッコ内の値は次のようになります。

   $1 - \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} = 1 - \frac{5}{4} = -\frac{1}{4}$1−1−β2​1​=1−45​=−41​

2. 分子の $m c^2$mc2

   $m c^2 = (-2.00 \times 10^{-30} \text{ kg}) \times (8.00 \times 10^7 \text{ m/s})^2 = -1.28 \times 10^{-14} \text{ J}$mc2=(−2.00×10−30 kg)×(8.00×107 m/s)2=−1.28×10−14 J

最高点 $h$h の算出

求めた値を高さの式に代入します。

$h = \frac{-1.28 \times 10^{-14} \text{ J}}{2.40 \times 10^{-29} \text{ N}} \times \left( -\frac{1}{4} \right) = \frac{0.32 \times 10^{-14}}{2.40 \times 10^{-29}} = \frac{0.32}{2.40} \times 10^{15} = \frac{4}{30} \times 10^{15} \text{ m} = \frac{4}{3} \times 10^{14} \text{ m}$h=2.40×10−29 N−1.28×10−14 J​×(−41​)=2.40×10−290.32×10−14​=2.400.32​×1015=304​×1015 m=34​×1014 m

負の質量がもつ負の静止エネルギー $m c^2$mc2 に対し、位置エネルギーによる仕事が加わることで全エネルギーが静止状態の値へ向かって増加し、 $h > 0$h>0 の位置で静止するという運動が、数理的・物理的矛盾なく完全に成立します。

自然数化

得られた分数 $\frac{4}{3}$34​ は、分子 $A_0 = 4$A0​=4、分母 $B_0 = 3$B0​=3 であり、これらは互いに素な関係を満たしています。 指定された分子と分母の和を計算します。

$A_0 + B_0 = 4 + 3 = 7$A0​+B0​=4+3=7

解答：7