GWCA003 問題1

解説

相対論的効果の整理

列車系（列車と共に動く座標系）と、静止系（地面に固定された座標系）の2つの慣性系を考えます。列車系において、列車は静止しており、その全長は固有長 $L$ です。一方、静止系から見ると、列車は速度 $v$ で運動しているため、ローレンツ収縮により列車の長さは $L \sqrt{1 - \beta^2}$ に縮んで見えます。

列車系での思考

列車系において、光パルスは速度 $c$ で走り、距離 $L$ 離れた先頭 $\text{A}$ に向かいます。列車系では列車自体が静止しているため、光パルスが到達するのにかかる時間 $\Delta t'$ は単純に次のようになります。

\Delta t' = \frac{L}{c}

静止系での思考

静止系からこの現象を観測します。時刻 $t_1 = 0$ に最後尾 $\text{B}$ から放たれた光パルスは、速度 $c$ で進みます。しかし、ターゲットである先頭 $\text{A}$ もまた速度 $v$ で前方に逃げています。静止系における時刻 $t_1 = 0$ での先頭 $\text{A}$ の位置を基準（ $x=0$ ）とすると、ローレンツ収縮により最後尾 $\text{B}$ の位置は $x = -L \sqrt{1 - \beta^2}$ です。光パルスはここから速度 $c$ で追いかけます。

時刻 $t_2$ において光パルスが先頭 $\text{A}$ に追いついたとすると、それぞれの移動距離の関係から次の式が成り立ちます。

c t_2 = L \sqrt{1 - \beta^2} + v t_2

これを $t_2$ （すなわち静止系での経過時間 $\Delta t$ ）について解きます。

(c - v) \Delta t = L \sqrt{1 - \beta^2}

\Delta t = \frac{L \sqrt{1 - \beta^2}}{c - v} = \frac{L \sqrt{1 - \beta^2}}{c(1 - \beta)}

時間比の計算

求めたい時間の比 $\frac{\Delta t}{\Delta t'}$ を計算します。

\frac{\Delta t}{\Delta t'} = \frac{\frac{L \sqrt{1 - \beta^2}}{c(1 - \beta)}}{\frac{L}{c}} = \frac{\sqrt{1 - \beta^2}}{1 - \beta}

ルートの中に入れて整理します。 $1 - \beta^2 = (1 - \beta)(1 + \beta)$ であることを利用すると、次のように変形できます。

\frac{\Delta t}{\Delta t'} = \sqrt{\frac{1 - \beta^2}{(1 - \beta)^2}} = \sqrt{\frac{(1 - \beta)(1 + \beta)}{(1 - \beta)^2}} = \sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}}

これが求める比の一般式です。

数値の代入

制約より、 $\beta$ の値を求めます。

\beta = \frac{v}{c} = \frac{4.80 \times 10^7}{8.00 \times 10^7} = 0.60 = \frac{3}{5}

この値を式に代入します。

\frac{1 + \beta}{1 - \beta} = \frac{1 + \frac{3}{5}}{1 - \frac{3}{5}} = \frac{\frac{8}{5}}{\frac{2}{5}} = \frac{8}{2} = \frac{4}{1}

したがって、時間比は $\sqrt{\frac{4}{1}}$ となり、既約分数 $\frac{p}{q}$ は $\frac{4}{1}$ です。（なお、このとき $\frac{\Delta t}{\Delta t'} = 2$ となり、列車の中の1秒が外の世界の2秒に相当する強力なウラシマ効果が確認できます）

分子 $p = 4$ 、分母 $q = 1$ より、求める自然数は次の通りです。

p + q = 4 + 1 = 5

解答：5

GWCA003 問題1

光速が極端に遅い世界における特急列車のウラシマ効果と運動量輸送

問題文

制約

入力形式

Solution

解説

相対論的効果の整理

列車系での思考

静止系での思考

時間比の計算

数値の代入