GSO012 問題7

反射光の明暗条件

薄膜の屈折率を $N$N、厚さを $d$d とします。

今回干渉する二つの反射光では、一方だけが反射時に位相反転します。また、垂直入射とみなしているため、反射光が暗くなる条件は、

$$2Nd=m\lambda$$2Nd=mλ

です。

ここで $m=0,1,2,\ldots$m=0,1,2,… であり、$\lambda$λ は真空中の波長です。

一方、明るくなる条件は、

$$2Nd= \left( k+\frac12 \right)\lambda$$2Nd=(k+21​)λ

です。

ここで $k=0,1,2,\ldots$k=0,1,2,… です。

通常のニュートンリングでは中央で $d=0$d=0 なので中心は暗くなります。しかし今回は、スペーサーによって中央にも厚さ $h$h の薄膜があります。

猫は何もしていませんが、スペーサーはかなり仕事をしています。

中央の明暗からすき間を特定する

初めは空気なので $N=1$N=1 です。

波長 $\lambda_{\mathrm{R}}$λR​ で中心が暗いことから、

$$2h=m\lambda_{\mathrm{R}}$$2h=mλR​

です。

したがって、

$$h=300m\,\mathrm{nm}$$h=300mnm

となります。

さらに、

$$0<h<800\,\mathrm{nm}$$0<h<800nm

なので、可能性は、

$$h=300\,\mathrm{nm}, \qquad h=600\,\mathrm{nm}$$h=300nm,h=600nm

です。

一方、波長 $\lambda_{\mathrm{V}}$λV​ では中心が明るいため、

$$2h= \left( k+\frac12 \right)\lambda_{\mathrm{V}}$$2h=(k+21​)λV​

です。

よって、

$$h=(200k+100)\,\mathrm{nm}$$h=(200k+100)nm

となります。

制約を満たす候補は、

$$100\,\mathrm{nm}, \quad 300\,\mathrm{nm}, \quad 500\,\mathrm{nm}, \quad 700\,\mathrm{nm}$$100nm,300nm,500nm,700nm

です。

二つの観測を同時に満たすのは、

$$h=300\,\mathrm{nm}$$h=300nm

だけです。

波長 $\lambda_{\mathrm{R}}$λR​ で最初に現れる暗いリング

空気中で波長 $\lambda_{\mathrm{R}}$λR​ を用いたとき、中心では、

$$2h = 600\,\mathrm{nm} = \lambda_{\mathrm{R}}$$2h=600nm=λR​

です。

したがって中心 $r=0$r=0 は、暗線条件の $m=1$m=1 に対応します。

ただし、中心は暗いリングの個数には含めません。

その外側で最も内側の暗いリングでは、次の整数である、

$$m=2$$m=2

が対応します。

その位置の膜厚を $d_*$d∗​ とすると、

$$2d_*=2\lambda_{\mathrm{R}}$$2d∗​=2λR​

なので、

$$d_*=600\,\mathrm{nm}$$d∗​=600nm

です。

したがって、

$$d_*-h=300\,\mathrm{nm}$$d∗​−h=300nm

となります。

薄膜の形から、

$$r_*^2=2R(d_*-h)$$r∗2​=2R(d∗​−h)

です。

液体を入れると同じ場所の番号が変わる

次に屈折率 $n$n の液体を入れます。

波長 $\lambda_{\mathrm{R}}$λR​ に対する暗線条件は、

$$2nd=m\lambda_{\mathrm{R}}$$2nd=mλR​

です。

半径 $r_*$r∗​ の位置では膜厚は変化していないため、

$$d_*=600\,\mathrm{nm}$$d∗​=600nm

です。

したがって、

$$2n(600\,\mathrm{nm}) = m(600\,\mathrm{nm})$$2n(600nm)=m(600nm)

より、

$$m=2n$$m=2n

となります。

一方、液体中で暗線条件を満たす膜厚は、

$$d_m=\frac{m\lambda_{\mathrm{R}}}{2n}$$dm​=2nmλR​​

です。

半径 $r>0$r>0 の暗いリングが存在するためには、中心より膜厚が大きくなければならないので、

$$d_m>h$$dm​>h

が必要です。

したがって、

$$\frac{m\lambda_{\mathrm{R}}}{2n}>h$$2nmλR​​>h

です。

$\lambda_{\mathrm{R}}=600\,\mathrm{nm}$λR​=600nm、$h=300\,\mathrm{nm}$h=300nm より、

$$m>n$$m>n

となります。

ここで、

$$1<n<2$$1<n<2

なので、この条件を満たす最小の整数は、

$$m=2$$m=2

です。

つまり、液体中では中心に最も近い暗いリングが $m=2$m=2、その次が $m=3$m=3 に対応します。

問題文によれば、半径 $r_*$r∗​ の位置は二番目の暗いリングです。

したがって、この位置では、

$$m=3$$m=3

です。

先ほどの、

$$m=2n$$m=2n

と合わせると、

$$2n=3$$2n=3

より、

$$n=\frac32$$n=23​

となります。

したがって、

$$p=3,\qquad q=2$$p=3,q=2

です。

レンズはまったく動いていないのに、液体を入れただけで同じ円の暗線としての次数と、中心から数えた番号が変わりました。

猫から見ると同じ輪っかです。物理屋は勝手に番号を付け替えています。

波長 $\lambda_{\mathrm{V}}$λV​ の光に替える

今度は液体を入れたまま、波長 $\lambda_{\mathrm{V}}$λV​ の光を用います。

$n=\frac32$n=23​ なので、暗線条件は、

$$2\cdot\frac32d = m\lambda_{\mathrm{V}}$$2⋅23​d=mλV​

です。

したがって、

$$3d=m\lambda_{\mathrm{V}}$$3d=mλV​

より、

$$d_m = \frac{400m}{3}\,\mathrm{nm}$$dm​=3400m​nm

となります。

半径 $r>0$r>0 の暗いリングが存在するには、

$$d_m>h$$dm​>h

なので、

$$\frac{400m}{3}>300$$3400m​>300

です。

したがって、

$$m>\frac94$$m>49​

となります。

よって、中心に最も近い暗いリングは $m=3$m=3 です。

二番目は $m=4$m=4、三番目は $m=5$m=5 なので、$r_3$r3​ の位置での膜厚は、

$$d_3 = \frac{400\times5}{3}\,\mathrm{nm} = \frac{2000}{3}\,\mathrm{nm}$$d3​=3400×5​nm=32000​nm

です。

半径を求めずに半径の比を求める

薄膜の形から、任意の位置について、

$$r^2=2R(d-h)$$r2=2R(d−h)

です。

したがって、

$$\left( \frac{r_3}{r_*} \right)^2 = \frac{d_3-h}{d_*-h}$$(r∗​r3​​)2=d∗​−hd3​−h​

となります。

各値を代入すると、

$$\left( \frac{r_3}{r_*} \right)^2 = \frac{ \frac{2000}{3}-300 }{ 600-300 }$$(r∗​r3​​)2=600−30032000​−300​

です。

分子は、

$$\frac{2000}{3}-300 = \frac{1100}{3}$$32000​−300=31100​

なので、

$$\left( \frac{r_3}{r_*} \right)^2 = \frac{\frac{1100}{3}}{300} = \frac{11}{9}$$(r∗​r3​​)2=30031100​​=911​

となります。

したがって、

$$s=11,\qquad t=9$$s=11,t=9

です。

曲率半径 $R$R は最後まで分かりませんでした。しかし、ニュートンリングでは $r^2$r2 が中心からの膜厚の増分に比例するため、半径の比を取ると $R$R がきれいに消えます。

猫も最後まで起きませんでした。

入力すべき自然数

以上より、

$$p+q+s+t = 3+2+11+9 = 25$$p+q+s+t=3+2+11+9=25

です。

入力すべき自然数は、

$$\boxed{25}$$25​

です。