GSO012 問題10

一般化座標

一般化座標として、

\boldsymbol{\theta} = \begin{pmatrix} \theta_1\\ \theta_2 \end{pmatrix}

を用います。

ラグランジアン

\mathcal{L}=T-V

を2次の微小量まで求め、ラグランジュ方程式から小振動の運動方程式を導きます。

運動エネルギー

第1の棒は固定点 $O$ のまわりを回転します。

一様な棒の端まわりの慣性モーメントは、

I_1=\frac{1}{3}m_1\ell^2

なので、

T_1 = \frac{1}{2}I_1\dot{\theta}_1^2 = \frac{1}{6}m_1\ell^2\dot{\theta}_1^2

です。

第2の棒の重心位置は、

\begin{aligned} x_2 &= \ell\cos\theta_1 + \frac{\ell}{2}\cos\theta_2,\\ y_2 &= \ell\sin\theta_1 + \frac{\ell}{2}\sin\theta_2 \end{aligned}

です。

これを時間微分すると、重心速度の2乗は、

v_2^2 = \ell^2\dot{\theta}_1^2 + \frac{\ell^2}{4}\dot{\theta}_2^2 + \ell^2\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2 \cos(\theta_1-\theta_2)

となります。

第2の棒の重心まわりの慣性モーメントは、

I_{\mathrm G} = \frac{1}{12}m_2\ell^2

なので、

T_2 = \frac{1}{2}m_2v_2^2 + \frac{1}{2}I_{\mathrm G}\dot{\theta}_2^2

です。

ここで、

\cos(\theta_1-\theta_2) = 1-\frac{1}{2}(\theta_1-\theta_2)^2+\cdots

です。

$\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2$ 自体が2次の微小量なので、右辺第2項を掛けたものは4次となり、2次のラグランジアンには寄与しません。

したがって、この項では、

\cos(\theta_1-\theta_2)\simeq1

としてよいです。

以上より、

\begin{aligned} T &= T_1+T_2\\ &= \frac{1}{2} \left( \frac{m_1}{3}+m_2 \right) \ell^2\dot{\theta}_1^2 + \frac{1}{2} \frac{m_2}{3}\ell^2\dot{\theta}_2^2 + \frac{m_2}{2}\ell^2 \dot{\theta}_1\dot{\theta}_2 \end{aligned}

となります。

したがって、

T = \frac{1}{2} \dot{\boldsymbol{\theta}}^{\,\mathrm T} \mathbf{M} \dot{\boldsymbol{\theta}}

と書けば、

\mathbf{M} = \ell^2 \begin{pmatrix} \dfrac{m_1}{3}+m_2 & \dfrac{m_2}{2}\\ \dfrac{m_2}{2} & \dfrac{m_2}{3} \end{pmatrix}

です。

ばね1の位置エネルギー

角度がゼロの平衡状態では、

P=(a,0),\qquad C=(a,L_1)

です。

第1の棒が角度 $\theta_1$ だけ回転すると、

P= (a\cos\theta_1,\ a\sin\theta_1)

となります。

したがって、ばね1の長さ $l_1$ は、

l_1 = \sqrt{ (a-a\cos\theta_1)^2 + (L_1-a\sin\theta_1)^2 }

です。

小角展開すると、

l_1-L_1 = -a\theta_1+O(\theta_1^2)

となります。

ばね1は平衡状態で自然長なので、位置エネルギーの2次までを残せば、

V_1 = \frac{1}{2}k_1a^2\theta_1^2

です。

ばね2の位置エネルギー

端点 $B$ の位置は、

B= \left( \ell\cos\theta_1+\ell\cos\theta_2,\, \ell\sin\theta_1+\ell\sin\theta_2 \right)

です。

平衡状態では、

B=(2\ell,0),\qquad D=(2\ell,L_2)

です。

点 $B$ の $y$ 方向変位は、

\ell\sin\theta_1+\ell\sin\theta_2 = \ell(\theta_1+\theta_2)+O(\theta^3)

となります。

一方、 $x$ 方向変位は、

\begin{aligned} x_B-2\ell &= \ell(\cos\theta_1+\cos\theta_2-2)\\ &= O(\theta^2) \end{aligned}

であり、ばね2の長さの1次変化には寄与しません。

ばね2は平衡状態で $y$ 軸方向を向き、自然長であるため、その長さの変化は1次までで、

\Delta l_2 = -\ell(\theta_1+\theta_2)+O(\theta^2)

です。

したがって、

V_2 = \frac{1}{2} k_2\ell^2(\theta_1+\theta_2)^2

となります。

よって全位置エネルギーは、

V = \frac{1}{2}k_1a^2\theta_1^2 + \frac{1}{2} k_2\ell^2(\theta_1+\theta_2)^2

です。

これを、

V = \frac{1}{2} \boldsymbol{\theta}^{\mathrm T} \mathbf{K} \boldsymbol{\theta}

と書けば、

\mathbf{K} = \begin{pmatrix} k_1a^2+k_2\ell^2 & k_2\ell^2\\ k_2\ell^2 & k_2\ell^2 \end{pmatrix}

となります。

ラグランジュ方程式

2次までのラグランジアンは、

\mathcal{L} = \frac{1}{2} \dot{\boldsymbol{\theta}}^{\,\mathrm T} \mathbf{M} \dot{\boldsymbol{\theta}} - \frac{1}{2} \boldsymbol{\theta}^{\mathrm T} \mathbf{K} \boldsymbol{\theta}

です。

ラグランジュ方程式から、

\mathbf{M}\ddot{\boldsymbol{\theta}} + \mathbf{K}\boldsymbol{\theta} = \boldsymbol 0

を得ます。

数値を代入すると、

\mathbf{M} = \begin{pmatrix} \dfrac{39}{2000} & \dfrac{27}{4000}\\ \dfrac{27}{4000} & \dfrac{9}{2000} \end{pmatrix} \,\mathrm{kg\,m^2}

であり、

\mathbf{K} = \begin{pmatrix} \dfrac{87}{50} & \dfrac{81}{50}\\ \dfrac{81}{50} & \dfrac{81}{50} \end{pmatrix} \,\mathrm{kg\,m^2/s^2}

となります。

固有角振動数

正規モードとして、

\boldsymbol{\theta} = \boldsymbol u e^{i\omega t}

を仮定します。

これを運動方程式へ代入すると、

\left( \mathbf{K}-\omega^2\mathbf{M} \right) \boldsymbol u = \boldsymbol 0

です。

非自明な振幅 $\boldsymbol u$ が存在する条件は、

\det \left( \mathbf{K}-\omega^2\mathbf{M} \right) = 0

です。

計算すると、

\omega^4 - 416\,\mathrm{s^{-2}}\omega^2 + 4608\,\mathrm{s^{-4}} = 0

となります。

したがって、

\omega_-^2 = \left( 208-16\sqrt{151} \right)\mathrm{s^{-2}}

および、

\omega_+^2 = \left( 208+16\sqrt{151} \right)\mathrm{s^{-2}}

を得ます。

固有角振動数の比

求める比は、

\frac{\omega_+^2}{\omega_-^2} = \frac{208+16\sqrt{151}} {208-16\sqrt{151}}

です。

$16$ で約分して分母を有理化すると、

\begin{aligned} \frac{\omega_+^2}{\omega_-^2} &= \frac{13+\sqrt{151}} {13-\sqrt{151}}\\ &= \frac{(13+\sqrt{151})^2} {13^2-151}\\ &= \frac{160+13\sqrt{151}}{9} \end{aligned}

となります。

したがって、

p=160,\qquad q=13,\qquad r=151,\qquad s=9

です。

よって、

p+q+r+s = 160+13+151+9 = 333

となります。

入力すべき自然数は、

\boxed{333}

です。

GSO012 問題10

二連リンクばね振動器の固有モード

問題文

制約

入力形式

Solution

一般化座標

運動エネルギー

ばね1の位置エネルギー

ばね2の位置エネルギー

ラグランジュ方程式

固有角振動数

固有角振動数の比