GSO011 問題7

(1) 支点反力

支点反力をそれぞれ $R_A$RA​、$R_B$RB​ とし、鉛直上向きを正とします。

橋全体の鉛直方向の力のつり合いより、

$$R_A+R_B-P=0$$RA​+RB​−P=0

となります。

点 $A$A まわりのモーメントのつり合いより、

$$6R_B-2P=0$$6RB​−2P=0

です。

したがって、

$$R_B=\frac{P}{3}$$RB​=3P​

となります。

また、

$$R_A=P-R_B$$RA​=P−RB​

であるため、

$$R_A=\frac{2P}{3}$$RA​=32P​

です。

$P=180\,\mathrm{N}$P=180N を代入すると、

$$R_A=120\,\mathrm{N}$$RA​=120N $$R_B=60\,\mathrm{N}$$RB​=60N

となります。

(2) せん断力

まず、$0\leq x<2$0≤x<2 の場合を考えます。

切断位置より左側には、支点反力 $R_A$RA​ のみが作用しています。

鉛直方向の力のつり合いより、

$$R_A-Q(x)=0$$RA​−Q(x)=0

となります。

したがって、

$$Q(x)=R_A$$Q(x)=RA​

より、

$$Q(x)=\frac{2P}{3}$$Q(x)=32P​

です。

次に、$2<x\leq6$2<x≤6 の場合を考えます。

切断位置より左側には、支点反力 $R_A$RA​ と集中荷重 $P$P が作用しています。

鉛直方向の力のつり合いより、

$$R_A-P-Q(x)=0$$RA​−P−Q(x)=0

となります。

したがって、

$$Q(x)=R_A-P$$Q(x)=RA​−P

より、

$$Q(x)=-\frac{P}{3}$$Q(x)=−3P​

です。

よって、$0\leq x<2$0≤x<2 では、

$$Q(x)=\frac{2P}{3}$$Q(x)=32P​

となり、$2<x\leq6$2<x≤6 では、

$$Q(x)=-\frac{P}{3}$$Q(x)=−3P​

となります。

集中荷重の作用点の直前におけるせん断力を $Q(2^-)$Q(2−)、直後におけるせん断力を $Q(2^+)$Q(2+) とすると、

$$Q(2^-)=\frac{2P}{3}$$Q(2−)=32P​

です。

また、

$$Q(2^+)=-\frac{P}{3}$$Q(2+)=−3P​

です。

したがって、直後の値から直前の値を引くと、

$$Q(2^+)-Q(2^-)=-P$$Q(2+)−Q(2−)=−P

となります。

これは、せん断力が集中荷重の作用点で、荷重の大きさ $P$P だけ減少することを表しています。

本問では、この不連続点における単一の値 $Q(2)$Q(2) は定義していません。

(3) 曲げモーメント

まず、$0\leq x\leq2$0≤x≤2 の場合を考えます。

切断面まわりのモーメントのつり合いより、

$$M(x)-R_Ax=0$$M(x)−RA​x=0

となります。

したがって、

$$M(x)=R_Ax$$M(x)=RA​x

です。

$R_A=\frac{2P}{3}$RA​=32P​ を代入すると、

$$M(x)=\frac{2P}{3}x$$M(x)=32P​x

となります。

次に、$2\leq x\leq6$2≤x≤6 の場合を考えます。

切断面まわりのモーメントのつり合いより、

$$M(x)-R_Ax+P(x-2)=0$$M(x)−RA​x+P(x−2)=0

となります。

したがって、

$$M(x)=R_Ax-P(x-2)$$M(x)=RA​x−P(x−2)

です。

$R_A=\frac{2P}{3}$RA​=32P​ を代入すると、

$$M(x)=\frac{2P}{3}x-P(x-2)$$M(x)=32P​x−P(x−2)

となります。

これを整理すると、

$$M(x)=2P-\frac{P}{3}x$$M(x)=2P−3P​x

です。

よって、

$$M(x)=\frac{P}{3}(6-x)$$M(x)=3P​(6−x)

となります。

したがって、$0\leq x\leq2$0≤x≤2 では、

$$M(x)=\frac{2P}{3}x$$M(x)=32P​x

となり、$2\leq x\leq6$2≤x≤6 では、

$$M(x)=\frac{P}{3}(6-x)$$M(x)=3P​(6−x)

となります。

集中荷重の作用点では、曲げモーメントは連続です。

左側の式に $x=2$x=2 を代入すると、

$$M(2)=\frac{4P}{3}$$M(2)=34P​

となります。

右側の式に $x=2$x=2 を代入しても、

$$M(2)=\frac{4P}{3}$$M(2)=34P​

となります。

$0\leq x\leq2$0≤x≤2 では $M(x)$M(x) は $x$x とともに増加し、$2\leq x\leq6$2≤x≤6 では $x$x とともに減少します。

したがって、曲げモーメントの絶対値は集中荷重の作用点で最大となります。

$$x_{\max}=2\,\mathrm{m}$$xmax​=2m

そのとき、

$$|M_{\max}|=\frac{4P}{3}$$∣Mmax​∣=34P​

です。

$P=180\,\mathrm{N}$P=180N を代入すると、

$$|M_{\max}|=240\,\mathrm{N\,m}$$∣Mmax​∣=240Nm

となります。

よって、入力すべき自然数は、

$$\frac{2\,\mathrm{m}}{1\,\mathrm{m}}+\frac{240\,\mathrm{N\,m}}{1\,\mathrm{N\,m}}$$1m2m​+1Nm240Nm​

です。

それぞれの項を計算すると、

$$2+240=242$$2+240=242

となります。

入力すべき自然数は $\boxed{242}$242​ です。