GSO011 問題3
Problem Statement
コピー機のトナー粒子は電子を何個余分にもつか
問題文
レーザープリンターでは、静電気を利用して微小なトナー粒子を紙へ移動させている。
あるトナー粒子1個の帯電状態を調べる。トナー粒子全体を内部に含み、粒子の中心と同じ中心をもつ半径 r の仮想的な球面を考える。
この球面上では、電場の大きさはどの位置でも E であり、電場の向きはすべて球面の内側、すなわち粒子の中心を向いている。
球面の内部にある電荷はこのトナー粒子がもつ電荷だけであり、周囲の物体が電場に与える影響は無視できるものとする。また、測定誤差は無視し、与えられた数値をそのまま用いる。
このトナー粒子が、電気的に中性な状態と比べて余分にもっている電子の個数を求めよ。
制約
- r=3.00×10−5m
- E=734.4N/C
- k=4πε01=9.00×109Nm2/C2
- e=1.60×10−19C
入力形式
トナー粒子が余分にもっている電子の個数を自然数として入力する。
Solution
電場の向きから帯電の種類を判断する
電気力線は正の電荷から出て、負の電荷へ入ります。
今回は球面上の電場がすべて粒子の中心を向いているため、球面の内部にあるトナー粒子の電荷は負です。
したがって、この粒子は電気的に中性な状態と比べて電子を余分にもっています。
ガウスの法則から電荷の大きさを求める
考えている球面では、電場の大きさがどこでも E で、向きは球面に垂直です。
電場は球面の内側を向いているため電気束は負ですが、ここでは電荷の大きさ ∣Q∣ を求めます。
ガウスの法則より、
E⋅4πr2=ε0∣Q∣となります。
ここで、
k=4πε01なので、
∣Q∣=kEr2です。
数値を代入すると、
∣Q∣=9.00×109734.4(3.00×10−5)2=7.344×10−17Cとなります。
余分な電子の個数を求める
電子1個がもつ電気量の大きさは e です。
余分な電子の個数を N とすると、
N=e∣Q∣です。
したがって、
N=1.60×10−197.344×10−17=459となります。
電場が中心向きであることから負の帯電であると判断し、ガウスの法則で電荷量を求めることがポイントです。
入力すべき自然数は 459 です。