GSO010 問題3

最初の静止摩擦力

最初、荷物は $23\,\mathrm{N}$23N の力で水平方向に引かれているにもかかわらず静止しています。

水平方向の力がつり合っているため、このとき静止摩擦力の大きさは、

$$f_{\mathrm{s}}=23\,\mathrm{N}$$fs​=23N

です。

ここで、静止摩擦力が最初から最大の大きさで働いているわけではないことが重要です。静止摩擦力は、荷物を静止させるために必要な大きさだけ働きます。

最大静止摩擦力

引く力は水平方向なので、鉛直方向では垂直抗力 $N$N と重力がつり合います。

したがって、

$$N = mg = 14\times10 = 140\,\mathrm{N}$$N=mg=14×10=140N

です。

最大静止摩擦力を $f_{\max}$fmax​ とすると、

$$f_{\max} = \mu_{\mathrm{s}}N$$fmax​=μs​N

なので、

$$f_{\max} = 0.42\times140 = 58.8\,\mathrm{N}$$fmax​=0.42×140=58.8N

となります。

つまり、静止摩擦力は $23\,\mathrm{N}$23N から引く力に合わせて大きくなっていきますが、$58.8\,\mathrm{N}$58.8N より大きな静止摩擦力を生じることはできません。

すべり始める操作回数

装置を $n$n 回操作したとき、引く力は、

$$F = 23+2n$$F=23+2n

となります。

17回操作したときは、

$$F = 23+2\times17 = 57\,\mathrm{N}$$F=23+2×17=57N

です。

これは最大静止摩擦力 $58.8\,\mathrm{N}$58.8N より小さいため、荷物はまだ静止できます。

18回操作したときは、

$$F = 23+2\times18 = 59\,\mathrm{N}$$F=23+2×18=59N

です。

これは、

$$59\,\mathrm{N}>58.8\,\mathrm{N}$$59N>58.8N

となり、静止摩擦力では引く力につり合えません。

したがって、荷物が初めてすべり始めるのは、

$$n=18$$n=18

回目の操作です。

この問題では、静止摩擦力は常に最大静止摩擦力に等しいのではなく、物体が静止している間は必要な大きさまで変化し、その上限を超える力が加わると物体がすべり始めることを利用しています。

入力すべき自然数は 18 です。