GSO009 問題7

1. 気体 A、B の比熱比

単原子分子理想気体 A の内部エネルギーは

U_{\mathrm A}=\frac32nRT

であるため、

C_{V,\mathrm A}=\frac32R

です。

1 molの理想気体を一定圧力のもとで $\Delta T$ だけ加熱すると、状態方程式より、気体が外界にする仕事は

p\Delta V=R\Delta T

です。

したがって、定圧で必要な熱量は、内部エネルギーの増加分にこの仕事を加えたものとなるので、

C_p=C_V+R

を得ます。

よって、

C_{p,\mathrm A}=\frac52R

であり、

\gamma_{\mathrm A} = \frac{C_{p,\mathrm A}}{C_{V,\mathrm A}} = \frac53

です。

同様に、二原子分子理想気体 B について、

C_{V,\mathrm B}=\frac52R, \qquad C_{p,\mathrm B}=\frac72R

なので、

\gamma_{\mathrm B}=\frac75

です。

2. 実験 I から共鳴器の熱容量を求める

実験 I の加熱後の温度を $T_1$ とします。

加熱前後で同じ気体 A を同じ共鳴器 X に入れているため、 $K$ 、 $\gamma_{\mathrm A}$ 、 $M_{\mathrm A}$ は共通です。

したがって、

f^2\propto T

より、

\frac{T_1}{T_0} = \left(\frac{f_1}{f_0}\right)^2

です。

よって、

T_1 = 300 \left(\frac{4.40}{4.00}\right)^2 = 363\,\mathrm K

となり、

T_1-T_0=63\,\mathrm K

です。

実験 I の初期状態について、

n_0RT_0=p_0V

なので、

n_0R = \frac{p_0V}{T_0} = \frac{1.00\times10^5\times1.20\times10^{-2}}{300} = 4.00\,\mathrm{J/K}

です。

X は剛体なので、気体は体積変化による仕事をしません。

したがって、供給された電気エネルギー $E$ は、気体 A の内部エネルギーの増加と共鳴器 X 本体のエネルギーの増加の和に等しく、

E = \left( \frac32n_0R+C \right) (T_1-T_0)

です。

よって、

6678 = \left( \frac32\times4.00+C \right)63

となるので、

C=100\,\mathrm{J/K}

を得ます。

3. 実験 II の二つの初期温度

実験 I の初期状態と実験 II の気体 A を比較します。

同じ気体 A について、

\frac{T_{\mathrm A}}{T_0} = \left( \frac{f_{\mathrm A}}{f_0} \right)^2

なので、

T_{\mathrm A} = 300 \left(\frac{4.80}{4.00}\right)^2 = 432\,\mathrm K

です。

次に、実験 II では

f_{\mathrm A}=f_{\mathrm B}

です。

$f=Kc$ で $K$ は共通なので、A と B の音速も等しくなります。

したがって、

\frac{\gamma_{\mathrm A}RT_{\mathrm A}}{M_{\mathrm A}} = \frac{\gamma_{\mathrm B}RT_{\mathrm B}}{M_{\mathrm B}}

であり、

T_{\mathrm B} = T_{\mathrm A} \frac{\gamma_{\mathrm A}}{\gamma_{\mathrm B}} \frac{M_{\mathrm B}}{M_{\mathrm A}}

です。

よって、

\begin{aligned} T_{\mathrm B} &= 432 \frac{5/3}{7/5} \frac{28.0}{40.0}\\ &= 360\,\mathrm K \end{aligned}

となります。

同じ共鳴周波数であっても、気体の比熱比とモル質量が異なるため、温度が等しいとは限らないことが分かります。

4. 混合後の温度

バルブを開く前は、A、B とも圧力が $p_0$ 、体積が $V$ です。

したがって、

n_{\mathrm A}RT_{\mathrm A}=p_0V, \qquad n_{\mathrm B}RT_{\mathrm B}=p_0V

です。

ここで、単原子分子気体 A の混合前の内部エネルギーは、

U_{\mathrm A,i} = \frac32n_{\mathrm A}RT_{\mathrm A} = \frac32p_0V

です。

同様に、B について、

U_{\mathrm B,i} = \frac52p_0V

です。

混合後は、A、B はともに温度 $T_f$ なので、

U_{\mathrm A,f} = \frac32 \frac{p_0V}{T_{\mathrm A}}T_f

および

U_{\mathrm B,f} = \frac52 \frac{p_0V}{T_{\mathrm B}}T_f

となります。

また、共鳴器 X は $T_{\mathrm A}$ から $T_f$ 、Y は $T_{\mathrm B}$ から $T_f$ へ温度が変化します。

装置全体は外界から断熱されており、剛体なので外界に体積変化による仕事もしません。したがって、気体 A、気体 B、共鳴器 X、共鳴器 Y を合わせた系のエネルギーが保存され、

\frac32p_0V + \frac52p_0V + C(T_{\mathrm A}+T_{\mathrm B}) = \left( \frac{3p_0V}{2T_{\mathrm A}} + \frac{5p_0V}{2T_{\mathrm B}} + 2C \right)T_f

となります。

ここで、

p_0V = 1.00\times10^5 \times 1.20\times10^{-2} = 1200\,\mathrm J

なので、

4\times1200 + 100(432+360) = \left( \frac{3\times1200}{2\times432} + \frac{5\times1200}{2\times360} + 200 \right)T_f

です。

整理すると、

84000=\frac{425}{2}T_f

より、

T_f=\frac{6720}{17}\,\mathrm K

を得ます。

この値は

360\,\mathrm K<T_f<432\,\mathrm K

を満たしており、熱平衡後の温度としても妥当です。

5. 最終圧力

最終状態では、A と B の物質量は保存され、気体が占める全体積は $2V$ です。

したがって、

p_f(2V) = (n_{\mathrm A}+n_{\mathrm B})RT_f

です。

混合前の状態方程式から、

n_{\mathrm A}R = \frac{p_0V}{T_{\mathrm A}}, \qquad n_{\mathrm B}R = \frac{p_0V}{T_{\mathrm B}}

なので、

\frac{p_f}{p_0} = \frac{T_f}{2} \left( \frac1{T_{\mathrm A}} + \frac1{T_{\mathrm B}} \right)

となります。

よって、

\begin{aligned} \frac{p_f}{p_0} &= \frac12 \frac{6720}{17} \left( \frac1{432} + \frac1{360} \right)\\ &= \frac{154}{153} \end{aligned}

です。

したがって、

p=154,\qquad q=153

なので、入力すべき自然数は

p+q=307

です。

答え： $307$

GSO009 問題7

音で温度を測る二つの球形共鳴器

問題文

実験 I：共鳴器の校正

実験 II：二種類の気体の混合

制約

入力形式

Solution

1. 気体 A、B の比熱比

2. 実験 I から共鳴器の熱容量を求める

3. 実験 II の二つの初期温度

4. 混合後の温度

5. 最終圧力