GSO009 問題6

光子1から最初の遷移を特定する

水素原子は最初に $n=9$n=9 の状態にあります。

水素原子のスペクトルについて、リュードベリの式は

$$\frac{1}{\lambda} = R\left( \frac{1}{n_{\mathrm{f}}^2} - \frac{1}{n_{\mathrm{i}}^2} \right)$$λ1​=R(nf2​1​−ni2​1​)

と表されます。

ここで $n_{\mathrm{i}}$ni​ は遷移前、$n_{\mathrm{f}}$nf​ は遷移後の主量子数であり、

$$n_{\mathrm{i}}>n_{\mathrm{f}}$$ni​>nf​

です。

光子1については $n_{\mathrm{i}}=9$ni​=9 です。

$n_{\mathrm{f}}=7$nf​=7 とすると、

$$\begin{aligned} \frac{1}{\lambda_1} &= R\left( \frac{1}{7^2} - \frac{1}{9^2} \right)\\ &= R\left( \frac{1}{49} - \frac{1}{81} \right)\\ &= R\frac{32}{3969} \end{aligned}$$λ1​1​​=R(721​−921​)=R(491​−811​)=R396932​​

となります。

したがって、

$$\lambda_1 = \frac{3969}{32R}$$λ1​=32R3969​

です。

数値を代入すると、

$$\lambda_1 \approx 1.131\times10^{-5}\,\mathrm{m} = 11.31\,\mathrm{\mu m}$$λ1​≈1.131×10−5m=11.31μm

となり、観測結果と一致します。

よって、光子1は

$$9\rightarrow7$$9→7

の遷移によって放出されたと分かります。

光子2の系列情報を使う

光子1の放出後、水素原子は $n=7$n=7 にあります。

光子2はプント系列であることが分かっています。

問題文より、プント系列とは遷移後の主量子数が $n=5$n=5 である系列です。

したがって、光子2に対応する遷移は

$$7\rightarrow5$$7→5

です。

ここまでで、

$$9\rightarrow7\rightarrow5$$9→7→5

と決まります。

光子4から後半の遷移を特定する

次に、波長 $656.3\,\mathrm{nm}$656.3nm の光子4を考えます。

リュードベリの式において、

$$n_{\mathrm{i}}=3,\qquad n_{\mathrm{f}}=2$$ni​=3,nf​=2

とすると、

$$\begin{aligned} \frac{1}{\lambda_4} &= R\left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right)\\ &= R\left( \frac14-\frac19 \right)\\ &= R\frac{5}{36} \end{aligned}$$λ4​1​​=R(221​−321​)=R(41​−91​)=R365​​

です。

よって、

$$\lambda_4 = \frac{36}{5R} \approx 6.563\times10^{-7}\,\mathrm{m} = 656.3\,\mathrm{nm}$$λ4​=5R36​≈6.563×10−7m=656.3nm

となり、観測結果と一致します。

したがって、光子4は

$$3\rightarrow2$$3→2

の遷移によって放出されています。

5個すべての遷移を復元する

ここまでで、

• 光子1：$9\rightarrow7$9→7
• 光子2：$7\rightarrow5$7→5
• 光子4：$3\rightarrow2$3→2

と分かりました。

光子は全部で5個なので、水素原子は5回の遷移によって

$$n=9$$n=9

から

$$n=1$$n=1

へ到達しています。

光子2を放出した直後は $n=5$n=5、光子4を放出する直前は $n=3$n=3 です。

その間に放出されるのは光子3だけなので、光子3は必ず

$$5\rightarrow3$$5→3

の遷移です。

また、光子4の放出後は $n=2$n=2 であり、残っている光子は光子5だけです。

したがって、

$$2\rightarrow1$$2→1

が光子5の遷移です。

よって、全体の遷移は

$$9\rightarrow7\rightarrow5\rightarrow3\rightarrow2\rightarrow1$$9→7→5→3→2→1

と一意に決まります。

5個の光子は順に、

$$\begin{aligned} &9\rightarrow7,\\ &7\rightarrow5,\\ &5\rightarrow3,\\ &3\rightarrow2,\\ &2\rightarrow1 \end{aligned}$$​9→7,7→5,5→3,3→2,2→1​

の遷移によって放出されています。

最大・最小の光子エネルギーを調べる

光子のエネルギーは

$$E=\frac{hc}{\lambda}$$E=λhc​

なので、波長が短いほど光子のエネルギーは大きくなります。

また、リュードベリの式より、遷移 $n_{\mathrm{i}}\rightarrow n_{\mathrm{f}}$ni​→nf​ で放出される光子のエネルギーは、

$$E = hcR \left( \frac{1}{n_{\mathrm{f}}^2} - \frac{1}{n_{\mathrm{i}}^2} \right)$$E=hcR(nf2​1​−ni2​1​)

に比例します。

5つの遷移について、括弧内の値を比較します。

光子1では、

$$\frac{1}{7^2}-\frac{1}{9^2} = \frac{32}{3969}$$721​−921​=396932​

です。

光子2では、

$$\frac{1}{5^2}-\frac{1}{7^2} = \frac{24}{1225}$$521​−721​=122524​

です。

光子3では、

$$\frac{1}{3^2}-\frac{1}{5^2} = \frac{16}{225}$$321​−521​=22516​

です。

光子4では、

$$\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2} = \frac{5}{36}$$221​−321​=365​

です。

光子5では、

$$1-\frac{1}{2^2} = \frac34$$1−221​=43​

です。

これらを比較すると、

$$\frac{32}{3969} < \frac{24}{1225} < \frac{16}{225} < \frac{5}{36} < \frac34$$396932​<122524​<22516​<365​<43​

となります。

したがって、エネルギーが最小なのは光子1、最大なのは光子5です。

エネルギー比を求める

共通する係数 $hcR$hcR は比を取ると消えるので、

$$\begin{aligned} \frac{E_{\max}}{E_{\min}} &= \frac{\dfrac34} {\dfrac{32}{3969}}\\ &= \frac34\times\frac{3969}{32}\\ &= \frac{11907}{128} \end{aligned}$$Emin​Emax​​​=396932​43​​=43​×323969​=12811907​​

となります。

$11907$11907 と $128$128 は互いに素なので、これは既約分数です。

したがって、

$$p=11907,\qquad q=128$$p=11907,q=128

より、

$$p+q=12035$$p+q=12035

です。

入力すべき自然数は 12035 です。