GSO008 問題3

立方体の底面積は $L^2$ なので、立方体全体の体積は $L^3$ です。したがって、立方体に働く重力の大きさは、

\rho L^3g

です。

水中にある部分の体積は $L^2h$ 、油中にある部分の体積は $L^2(L-h)$ です。そのため、水と油から受ける浮力の合計は、

\rho_{water}L^2hg+\rho_{oil}L^2(L-h)g

となります。

立方体は静止しているため、重力と浮力がつり合います。よって、

\rho L^3g = \rho_{water}L^2hg + \rho_{oil}L^2(L-h)g

です。両辺を $L^2g$ で割ると、

\rho L = \rho_{water}h + \rho_{oil}(L-h)

となります。したがって、

\begin{aligned} \rho &=\rho_{water}\frac{h}{L} +\rho_{oil}\frac{L-h}{L}\\ &=1.00\times\frac{6.5}{10.0} +0.80\times\frac{3.5}{10.0}\\ &=0.65+0.28\\ &=0.93\,\mathrm{g/cm^3} \end{aligned}

です。

したがって、

\frac{\rho}{0.01\,\mathrm{g/cm^3}} = \frac{0.93\,\mathrm{g/cm^3}}{0.01\,\mathrm{g/cm^3}} =93

より、入力すべき自然数は $93$ です。

水と油の境界に浮かぶ謎の物体の密度解析