GSO008 問題10

真鍮球は磁気力に関与しないので、永久磁石と鉄球の磁気相互作用のみ考えればよい。鉄球の内外で磁束密度$\vec{B}$Bの法線成分と磁場$\vec{H}$Hの接線成分がそれぞれ連続になるため、磁力線が鉄球の内外で法線となす角をそれぞれ$\theta_1,\theta_2$θ1​,θ2​、鉄の比透磁率を$\mu_r$μr​、鉄球の内外での磁場の大きさを$H_1,H_2$H1​,H2​とすると、

$$\begin{aligned} H_1\sin\theta_1&=H_2\sin\theta_2,\\ \mu_rH_1\cos\theta_1&=H_2\cos\theta_2 \end{aligned}$$H1​sinθ1​μr​H1​cosθ1​​=H2​sinθ2​,=H2​cosθ2​​

よって、

$$\tan\theta_1=\mu_r\tan\theta_2$$tanθ1​=μr​tanθ2​

となる。

鉄球の比透磁率について$\mu_r\to\infty$μr​→∞の極限を考えるので、$\tan\theta_2=0$tanθ2​=0、つまり磁力線は鉄球の表面に垂直に入射するとみなせる。

永久磁石の磁場によって、鉄球は磁力線が鉄球の表面に垂直に入射するという境界条件を満たすように磁化するわけだが、境界条件さえ満たしていれば磁場は一意に決まるため、鉄球の磁化による磁場を仮想的な磁荷や磁気双極子で代替することを考える（鏡像法）。

鉄球の中心が$x=-2a$x=−2aのとき（衝突直前）、永久磁石の磁気モーメントを微小距離$\delta$δだけ離れた単磁荷$\pm q$±qの組として考える。ただし、

$$p=\frac{q\delta}{\mu_0}$$p=μ0​qδ​

とする。

それぞれの鏡像磁荷の$x$x座標と磁荷を$x_{\pm},q_{\pm}$x±​,q±​とすると、

$$\begin{aligned} x_{+} &=-2a+\frac{a^2}{2a+\delta/2} \sim -2a+\frac{a}{2} \left( 1-\frac{\delta}{4a} \right),\\ q_{+} &=-\frac{qa}{2a+\delta/2} \sim -\frac{q}{2} \left( 1-\frac{\delta}{4a} \right),\\ x_{-} &=-2a+\frac{a^2}{2a-\delta/2} \sim -2a+\frac{a}{2} \left( 1+\frac{\delta}{4a} \right),\\ q_{-} &=\frac{qa}{2a-\delta/2} \sim \frac{q}{2} \left( 1+\frac{\delta}{4a} \right) \end{aligned}$$x+​q+​x−​q−​​=−2a+2a+δ/2a2​∼−2a+2a​(1−4aδ​),=−2a+δ/2qa​∼−2q​(1−4aδ​),=−2a+2a−δ/2a2​∼−2a+2a​(1+4aδ​),=2a−δ/2qa​∼2q​(1+4aδ​)​

となる。

これらをまとめると、位置$-\frac{3}{2}a$−23​aに単磁荷

$$\frac{\mu_0p}{4a}$$4aμ0​p​

と、磁気モーメント

$$\frac{p}{8}$$8p​

の鏡像ができる。

ただし、この鏡像系には正味の磁荷$\frac{\mu_0p}{4a}$4aμ0​p​が含まれている。実際の磁束密度は任意の閉曲面に対して全磁束が$0$0でなければならないため、鉄球の中心$x=-2a$x=−2aに、さらに単磁荷

$$-\frac{\mu_0p}{4a}$$−4aμ0​p​

を置く必要がある。

鉄球の中心に置いた単磁荷が球面上に作る磁気スカラーポテンシャルは一定であるため、この単磁荷を追加しても、鉄球表面で磁力線が垂直になるという境界条件は変化しない。

永久磁石による$x$x軸上の磁束密度は、$x$x軸の向きを正として、

$$B(x)=-\frac{\mu_0p}{2\pi x^3}$$B(x)=−2πx3μ0​p​

である。

位置$-\frac{3}{2}a$−23​aにある鏡像磁荷と鏡像磁気双極子による相互作用ポテンシャルエネルギーは、

$$\begin{aligned} U_1 &= -\frac{1}{2} \frac{\mu_0p}{4a} \frac{p}{4\pi(-3a/2)^2}\\ &\quad -\frac{1}{2} \frac{p}{8} \left( -\frac{\mu_0p}{2\pi(-3a/2)^3} \right)\\ &= -\frac{5\mu_0p^2}{216\pi a^3} \end{aligned}$$U1​​=−21​4aμ0​p​4π(−3a/2)2p​−21​8p​(−2π(−3a/2)3μ0​p​)=−216πa35μ0​p2​​

となる。

また、永久磁石が鉄球の中心$x=-2a$x=−2aに作る磁気スカラーポテンシャルは、

$$-\frac{p}{16\pi a^2}$$−16πa2p​

であるため、鉄球の中心に追加した鏡像磁荷による寄与は、

$$U_2 = \frac{1}{2} \left( -\frac{\mu_0p}{4a} \right) \left( -\frac{p}{16\pi a^2} \right) = \frac{\mu_0p^2}{128\pi a^3}$$U2​=21​(−4aμ0​p​)(−16πa2p​)=128πa3μ0​p2​

となる。

ここで、鏡像磁荷と磁気モーメントは永久磁石の磁場に誘起されて生じたものであるため、相互作用エネルギーには係数$\frac{1}{2}$21​が付くことに注意する。

以上より、

$$\begin{aligned} U(-2a) &=U_1+U_2\\ &= -\frac{5\mu_0p^2}{216\pi a^3} + \frac{\mu_0p^2}{128\pi a^3}\\ &= -\frac{53\mu_0p^2}{3456\pi a^3} \end{aligned}$$U(−2a)​=U1​+U2​=−216πa35μ0​p2​+128πa3μ0​p2​=−3456πa353μ0​p2​​

となる。

エネルギー保存則から、

$$\frac{1}{2}mv^2+U(-2a)=0$$21​mv2+U(−2a)=0

であるので、

$$v^2 = \frac{-2U(-2a)}{m} = \frac{53\mu_0p^2}{1728\pi a^3m}$$v2=m−2U(−2a)​=1728πa3m53μ0​p2​

となる。

したがって、

$$M=53,\qquad N=1728$$M=53,N=1728

であり、入力すべき値は、

$$\boxed{1781}$$1781​

である。