GSO007 問題9

負の質量をもつ円板として扱う

くり抜かれた円板部分を、同じ面密度をもつ負の質量の円板として扱います。元の大円板の質量を $M_R$MR​、くり抜かれた小円板の質量を $M_r$Mr​ とすると、

$$M_R=\sigma\pi R^2,\qquad M_r=\sigma\pi r^2$$MR​=σπR2,Mr​=σπr2

です。残った板の質量は

$$M=M_R-M_r$$M=MR​−Mr​

です。

位置ベクトル $\overrightarrow{OA}$OA を $\mathbf{a}$a とおくと、残った板の重心 $G$G は

$$\overrightarrow{OG} = \frac{M_R\mathbf{0}-M_r\mathbf{a}}{M_R-M_r}$$OG=MR​−Mr​MR​0−Mr​a​

を満たします。ここで

$$\mu=\frac{M_r}{M_R}=\frac{r^2}{R^2}$$μ=MR​Mr​​=R2r2​

とおけば、

$$\overrightarrow{OG} = -\frac{\mu}{1-\mu}\mathbf{a}$$OG=−1−μμ​a

です。したがって、$O,G,A$O,G,A は同一直線上にあります。

円板の中心を通る面内軸まわりの慣性モーメント

半径 $s$s、質量 $m$m の一様円板について、板に垂直な中心軸まわりの慣性モーメントは

$$I_z=\frac{1}{2}ms^2$$Iz​=21​ms2

です。円板は中心まわりに回転対称なので、中心を通る互いに直交する面内軸まわりの慣性モーメントは等しいです。直交軸の定理より、

$$I_z=I_x+I_y$$Iz​=Ix​+Iy​

であり、$I_x=I_y$Ix​=Iy​ だから、

$$I_x=I_y=\frac{1}{4}ms^2$$Ix​=Iy​=41​ms2

です。

よって、大円板と小円板について、それぞれ自身の中心を通る面内軸まわりの慣性モーメントの差を $C$C とおくと、

$$C=\frac{1}{4}M_RR^2-\frac{1}{4}M_rr^2$$C=41​MR​R2−41​Mr​r2

です。

面内軸の向きによる違い

$G$G を通り、$\mathbf{a}$a に平行な面内軸を考えます。この軸は $O$O と $A$A も通るため、各円板の中心から軸までの距離はどちらも $0$0 です。したがって、平行軸の定理による補正は生じず、

$$I_{\parallel}=C$$I∥​=C

です。

次に、$G$G を通り、$\mathbf{a}$a に垂直な面内軸を考えます。この軸から $O$O までの距離は

$$\frac{\mu}{1-\mu}|\mathbf{a}|$$1−μμ​∣a∣

であり、この軸から $A$A までの距離は

$$\frac{1}{1-\mu}|\mathbf{a}|$$1−μ1​∣a∣

です。平行軸の定理より、この軸まわりの慣性モーメントは

$$I_{\perp} = C + M_R\left(\frac{\mu}{1-\mu}\right)^2|\mathbf{a}|^2 - M_r\left(\frac{1}{1-\mu}\right)^2|\mathbf{a}|^2$$I⊥​=C+MR​(1−μμ​)2∣a∣2−Mr​(1−μ1​)2∣a∣2

です。$M_r=\mu M_R$Mr​=μMR​ を用いて整理すると、

$$I_{\perp} = C - \frac{M_R\mu}{1-\mu}|\mathbf{a}|^2$$I⊥​=C−1−μMR​μ​∣a∣2

となります。

残った板は直線 $OA$OA に関して対称なので、$G$G を通る面内軸のうち、$\mathbf{a}$a に平行な軸と垂直な軸が面内での極値方向になります。また、

$$I_{\perp}<I_{\parallel}$$I⊥​<I∥​

なので、

$$I_{\max}=I_{\parallel},\qquad I_{\min}=I_{\perp}$$Imax​=I∥​,Imin​=I⊥​

です。

比の計算

制約より、

$$\mu = \frac{r^2}{R^2} = \frac{(0.500)^2}{(1.00)^2} = \frac{1}{4}$$μ=R2r2​=(1.00)2(0.500)2​=41​

です。また、

$$|\mathbf{a}|^2 = u^2+v^2 = (0.150)^2+(0.200)^2 = 0.0625\,\mathrm{m^2} = \frac{1}{16}\,\mathrm{m^2}$$∣a∣2=u2+v2=(0.150)2+(0.200)2=0.0625m2=161​m2

です。

まず、

$$C = \frac{1}{4}\sigma\pi(R^4-r^4) = \frac{1}{4}\sigma\pi\left(1-\frac{1}{16}\right) = \frac{15}{64}\sigma\pi$$C=41​σπ(R4−r4)=41​σπ(1−161​)=6415​σπ

です。

また、

$$\frac{M_R\mu}{1-\mu}|\mathbf{a}|^2 = \sigma\pi R^2\cdot \frac{1/4}{3/4}\cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{48}\sigma\pi$$1−μMR​μ​∣a∣2=σπR2⋅3/41/4​⋅161​=481​σπ

です。したがって、

$$I_{\min} = \frac{15}{64}\sigma\pi-\frac{1}{48}\sigma\pi = \frac{41}{192}\sigma\pi$$Imin​=6415​σπ−481​σπ=19241​σπ

です。一方、

$$I_{\max} = \frac{15}{64}\sigma\pi = \frac{45}{192}\sigma\pi$$Imax​=6415​σπ=19245​σπ

です。

よって、

$$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{\frac{45}{192}\sigma\pi}{\frac{41}{192}\sigma\pi} = \frac{45}{41}$$Imin​Imax​​=19241​σπ19245​σπ​=4145​

です。

したがって、

$$p=45,\qquad q=41$$p=45,q=41

なので、入力すべき自然数は

$$p+q=86$$p+q=86

です。