GSO007 問題5

連分数展開を求める

まず、与えられた近似値

$$\pi=\frac{355}{113}$$π=113355​

を連分数展開します。

$355$355 を $113$113 で割ると、商は $3$3、余りは $16$16 です。したがって、

$$\frac{355}{113} = 3+\frac{16}{113} = 3+\frac{1}{\frac{113}{16}}$$113355​=3+11316​=3+16113​1​

となります。

次に、$113$113 を $16$16 で割ると、商は $7$7、余りは $1$1 です。よって、

$$\frac{113}{16} = 7+\frac{1}{16}$$16113​=7+161​

です。したがって、

$$\frac{355}{113} = 3+\frac{1}{7+\frac{1}{16}}$$113355​=3+7+161​1​

と表せます。

連分数と抵抗の対応

抵抗の直列接続では、合成抵抗は単純に足し合わされます。したがって、$1 \ \Omega$1 Ω の抵抗を $a$a 個直列につなぐと、$a \ \Omega$a Ω の抵抗ができます。

一方、抵抗値 $X$X の回路の逆数に対応する部分は、並列接続によって実現できます。特に、連分数

$$3+\frac{1}{7+\frac{1}{16}}$$3+7+161​1​

は、次のように抵抗の直列接続と並列接続を交互に用いる連分数型回路に対応します。

まず、$16 \ \Omega$16 Ω は $1 \ \Omega$1 Ω の抵抗を $16$16 個直列につなげば作れます。そこに $7 \ \Omega$7 Ω を直列に加えるには、さらに $7$7 個の抵抗が必要です。最後に $3 \ \Omega$3 Ω を直列に加えるには、さらに $3$3 個の抵抗が必要です。

したがって、この連分数型の構成で必要な抵抗の個数は

$$3+7+16=26$$3+7+16=26

です。

よって、入力すべき自然数は

$$26$$26

です。