GSO007 問題4

物体Aが静止しているとき，糸の張力を $T$ とすると，物体Bも静止しているので

T=Mg

である。

物体Aについて，斜面方向の力を考える。斜面下向きの重力成分は

mg\sin\theta

である。

また，斜面に垂直な方向の力のつり合いより，垂直抗力 $N$ は

N=mg\cos\theta

である。したがって，静止摩擦力の最大値は

\mu N=\mu mg\cos\theta

である。

物体Bが重すぎると，物体Aは斜面上向きに動き出そうとする。このとき摩擦力は斜面下向きにはたらくので，

Mg \leq mg\sin\theta+\mu mg\cos\theta

より

M \leq m(\sin\theta+\mu\cos\theta)

である。

一方，物体Bが軽すぎると，物体Aは斜面下向きに動き出そうとする。このとき摩擦力は斜面上向きにはたらくので，

Mg+\mu mg\cos\theta \geq mg\sin\theta

より

M \geq m(\sin\theta-\mu\cos\theta)

である。

よって，物体Aが静止するための条件は

m(\sin\theta-\mu\cos\theta) \leq M \leq m(\sin\theta+\mu\cos\theta)

である。

ここで，

\theta=\tan^{-1}\frac{3}{4}

より，

\sin\theta=\frac{3}{5},\quad \cos\theta=\frac{4}{5}

である。

また，

m=145\,\mathrm{kg},\quad \mu=\frac{1}{2}

なので，最小値は

M_{\min} = 145\left(\frac{3}{5}-\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{5}\right) = 29

である。

最大値は

M_{\max} = 145\left(\frac{3}{5}+\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{5}\right) = 145

である。

したがって，物体Bの質量の最小値と最大値の和は

29+145=174

となる。

よって、入力すべき自然数は $\boxed{174}$ である。

斜面上の物体とつり下げられた物体