GSO006 問題10

有効質量が不連続なときの注意点

通常の階段型ポテンシャルでは、質量が左右で同じであるため、波動関数 $\psi$ψ とその微分 $\psi'$ψ′ が連続になると考えます。

しかし、この問題では有効質量 $m(x)$m(x) が界面で不連続です。そのため、単純に $\psi'$ψ′ を連続にしてはいけません。与えられたハミルトニアンは

$$\hat{H}\psi = -\frac{\hbar^2}{2}\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{m(x)}\frac{d\psi}{dx} \right) + V(x)\psi$$H^ψ=−2ℏ2​dxd​(m(x)1​dxdψ​)+V(x)ψ

という形をしています。これは、確率流が正しく保存されるように設計された有効質量ハミルトニアンです。

境界条件の導出

定常状態のシュレディンガー方程式は

$$-\frac{\hbar^2}{2}\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{m(x)}\frac{d\psi}{dx} \right) + V(x)\psi = E\psi$$−2ℏ2​dxd​(m(x)1​dxdψ​)+V(x)ψ=Eψ

です。

これを $x=-\epsilon$x=−ϵ から $x=+\epsilon$x=+ϵ まで積分し、$\epsilon\to 0$ϵ→0 の極限を考えます。ポテンシャル項とエネルギー項は有限なので、積分区間の幅が $0$0 に近づくと寄与は消えます。残るのは微分項です。

$$-\frac{\hbar^2}{2} \int_{-\epsilon}^{+\epsilon} \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{m(x)}\frac{d\psi}{dx} \right) dx \to 0$$−2ℏ2​∫−ϵ+ϵ​dxd​(m(x)1​dxdψ​)dx→0

したがって

$$\left[ \frac{1}{m(x)}\frac{d\psi}{dx} \right]_{0-}^{0+} =0$$[m(x)1​dxdψ​]0−0+​=0

となり、

$$\frac{1}{m_{\mathrm{L}}}\psi_{\mathrm{L}}'(0) = \frac{1}{m_{\mathrm{R}}}\psi_{\mathrm{R}}'(0)$$mL​1​ψL′​(0)=mR​1​ψR′​(0)

が得られます。

また、波動関数 $\psi$ψ 自身が不連続だと、微分にデルタ関数的な特異性が生じ、ハミルトニアンの作用が有限な通常のエネルギー固有状態として扱えなくなります。したがって

$$\psi_{\mathrm{L}}(0)=\psi_{\mathrm{R}}(0)$$ψL​(0)=ψR​(0)

も必要です。

よって境界条件は

$$\psi_{\mathrm{L}}(0)=\psi_{\mathrm{R}}(0), \qquad \frac{1}{m_{\mathrm{L}}}\psi_{\mathrm{L}}'(0) = \frac{1}{m_{\mathrm{R}}}\psi_{\mathrm{R}}'(0)$$ψL​(0)=ψR​(0),mL​1​ψL′​(0)=mR​1​ψR′​(0)

です。

波数の決定

左側ではポテンシャルが $0$0 なので

$$E=\frac{\hbar^2 k_{\mathrm{L}}^2}{2m_{\mathrm{L}}}$$E=2mL​ℏ2kL2​​

より

$$k_{\mathrm{L}} = \frac{\sqrt{2m_{\mathrm{L}}E}}{\hbar}$$kL​=ℏ2mL​E​​

です。

右側ではポテンシャルが $V_0$V0​ なので、運動エネルギーは $E-V_0$E−V0​ です。したがって

$$E-V_0 = \frac{\hbar^2 k_{\mathrm{R}}^2}{2m_{\mathrm{R}}}$$E−V0​=2mR​ℏ2kR2​​

より

$$k_{\mathrm{R}} = \frac{\sqrt{2m_{\mathrm{R}}(E-V_0)}}{\hbar}$$kR​=ℏ2mR​(E−V0​)​​

です。

振幅反射係数の導出

境界条件に波動関数を代入します。

まず波動関数の連続条件から

$$A+B=C$$A+B=C

を得ます。

次に

$$\psi_{\mathrm{L}}'(x) = ik_{\mathrm{L}}A e^{ik_{\mathrm{L}}x} - ik_{\mathrm{L}}B e^{-ik_{\mathrm{L}}x}$$ψL′​(x)=ikL​AeikL​x−ikL​Be−ikL​x $$\psi_{\mathrm{R}}'(x) = ik_{\mathrm{R}}C e^{ik_{\mathrm{R}}x}$$ψR′​(x)=ikR​CeikR​x

なので、修正された微分の連続条件から

$$\frac{k_{\mathrm{L}}}{m_{\mathrm{L}}}(A-B) = \frac{k_{\mathrm{R}}}{m_{\mathrm{R}}}C$$mL​kL​​(A−B)=mR​kR​​C

となります。

ここで

$$\alpha=\frac{k_{\mathrm{L}}}{m_{\mathrm{L}}}, \qquad \beta=\frac{k_{\mathrm{R}}}{m_{\mathrm{R}}}$$α=mL​kL​​,β=mR​kR​​

とおくと、

$$A+B=C$$A+B=C $$\alpha(A-B)=\beta C$$α(A−B)=βC

です。

$C=A+B$C=A+B を代入すると

$$\alpha(A-B)=\beta(A+B)$$α(A−B)=β(A+B)

となります。これを整理すると

$$(\alpha-\beta)A=(\alpha+\beta)B$$(α−β)A=(α+β)B

です。

したがって振幅反射係数 $r=B/A$r=B/A は

$$r= \frac{B}{A} = \frac{\alpha-\beta}{\alpha+\beta}$$r=AB​=α+βα−β​

です。

反射率と透過率

反射率は、反射波の確率流を入射波の確率流で割ったものです。左側では入射波と反射波が同じ有効質量、同じ波数をもつため

$$R= \left| \frac{B}{A} \right|^2 = \left( \frac{\alpha-\beta}{\alpha+\beta} \right)^2$$R=​AB​​2=(α+βα−β​)2

です。

一方、透過率は透過波の確率流を入射波の確率流で割る必要があります。有効質量が左右で異なるため、単に $|C/A|^2$∣C/A∣2 ではありません。

このハミルトニアンに対応する確率流は

$$j= \frac{\hbar}{m} \operatorname{Im} \left( \psi^*\frac{d\psi}{dx} \right)$$j=mℏ​Im(ψ∗dxdψ​)

です。平面波 $D e^{ikx}$Deikx に対しては

$$j= \frac{\hbar k}{m}|D|^2$$j=mℏk​∣D∣2

となります。

したがって

$$T= \frac{\frac{\hbar k_{\mathrm{R}}}{m_{\mathrm{R}}}|C|^2} {\frac{\hbar k_{\mathrm{L}}}{m_{\mathrm{L}}}|A|^2} = \frac{\beta}{\alpha} \left| \frac{C}{A} \right|^2$$T=mL​ℏkL​​∣A∣2mR​ℏkR​​∣C∣2​=αβ​​AC​​2

です。

また

$$C=A+B$$C=A+B

より

$$\frac{C}{A} = 1+r = 1+ \frac{\alpha-\beta}{\alpha+\beta} = \frac{2\alpha}{\alpha+\beta}$$AC​=1+r=1+α+βα−β​=α+β2α​

です。

よって

$$T= \frac{\beta}{\alpha} \left( \frac{2\alpha}{\alpha+\beta} \right)^2 = \frac{4\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2}$$T=αβ​(α+β2α​)2=(α+β)24αβ​

となります。

数値条件の代入

ここで重要なのは、$\alpha$α と $\beta$β の比だけで反射率と透過率が決まることです。

$$\frac{\beta}{\alpha} = \frac{k_{\mathrm{R}}/m_{\mathrm{R}}}{k_{\mathrm{L}}/m_{\mathrm{L}}}$$αβ​=kL​/mL​kR​/mR​​

です。

波数の式を代入すると

$$\frac{\beta}{\alpha} = \sqrt{ \frac{m_{\mathrm{L}}(E-V_0)} {m_{\mathrm{R}}E} }$$αβ​=mR​EmL​(E−V0​)​​

となります。

制約より

$$m_{\mathrm{L}}=2m_{\mathrm{R}}$$mL​=2mR​

であり、また

$$E-V_0 = 1.4419589706\times 10^{-19} - 1.1215236438\times 10^{-19} = 3.204353268\times 10^{-20}\ {\rm J}$$E−V0​=1.4419589706×10−19−1.1215236438×10−19=3.204353268×10−20 J

です。

これは

$$E-V_0=\frac{2}{9}E$$E−V0​=92​E

に対応します。したがって

$$\frac{\beta}{\alpha} = \sqrt{ 2\cdot \frac{2}{9} } = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$$αβ​=2⋅92​​=94​​=32​

です。

つまり

$$\beta=\frac{2}{3}\alpha$$β=32​α

です。

これを反射率の式に代入すると

$$R = \left( \frac{\alpha-\frac{2}{3}\alpha} {\alpha+\frac{2}{3}\alpha} \right)^2 = \left( \frac{\frac{1}{3}} {\frac{5}{3}} \right)^2 = \left( \frac{1}{5} \right)^2 = \frac{1}{25}$$R=(α+32​αα−32​α​)2=(35​31​​)2=(51​)2=251​

です。

透過率は

$$T = \frac{4\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2}$$T=(α+β)24αβ​

なので、

$$T = \frac{4\alpha\cdot \frac{2}{3}\alpha} {\left(\alpha+\frac{2}{3}\alpha\right)^2} = \frac{\frac{8}{3}} {\left(\frac{5}{3}\right)^2} = \frac{8}{3}\cdot \frac{9}{25} = \frac{24}{25}$$T=(α+32​α)24α⋅32​α​=(35​)238​​=38​⋅259​=2524​

です。

確かに

$$R+T = \frac{1}{25} + \frac{24}{25} = 1$$R+T=251​+2524​=1

となり、確率流が保存されています。

入力値の計算

求めた反射率と透過率は

$$R=\frac{1}{25}, \qquad T=\frac{24}{25}$$R=251​,T=2524​

です。

したがって

$$p=1, \qquad q=25, \qquad r=24, \qquad s=25$$p=1,q=25,r=24,s=25

です。

よって入力すべき自然数は

$$p+q+r+s = 1+25+24+25 = 75$$p+q+r+s=1+25+24+25=75

です。

最終的に入力すべき自然数は

$$\boxed{75}$$75​

です。