GSO005 問題2

1本の熱線の抵抗値の導出

まず、熱線1本あたりの抵抗値を $r$r とおきます。 工場出荷時では、抵抗値 $r$r の熱線が $N$N 本並列に接続されています。 同一の抵抗 $r$r が $N$N 個並列に接続されている場合、回路全体の合成抵抗 $R_0$R0​ は以下の式で表されます。

$$\frac{1}{R_0} = \underbrace{\frac{1}{r} + \frac{1}{r} + \dots + \frac{1}{r}}_{N\text{個}} = \frac{N}{r}$$R0​1​=N個r1​+r1​+⋯+r1​​​=rN​

これを $r$r について解くと、熱線1本あたりの抵抗値が求まります。

$$r = N R_0$$r=NR0​

断線後の合成抵抗の導出

次に、熱線が断線し、残りの本数が $M$M 本になった状態を考えます。 正常な $M$M 本の熱線が並列に接続されているため、このときの新しい合成抵抗を $R'$R′ とすると、同様の並列回路の合成抵抗の法則から以下の関係が成り立ちます。

$$\frac{1}{R'} = \frac{M}{r} \implies R' = \frac{r}{M}$$R′1​=rM​⟹R′=Mr​

先ほど求めた $r = N R_0$r=NR0​ を代入します。

$$R' = \frac{N R_0}{M}$$R′=MNR0​​

回路全体で消費される電力の計算

電圧 $V$V の電源に、合成抵抗 $R'$R′ の回路が接続されているとき、回路全体で消費される電力 $P$P は以下の式で表されます。

$$P = \frac{V^2}{R'}$$P=R′V2​

これに先ほど求めた $R'$R′ の式を代入して、文字式の導出を完了させます。

$$P = \frac{V^2}{\frac{N R_0}{M}} = \frac{M V^2}{N R_0}$$P=MNR0​​V2​=NR0​MV2​

数値の代入と最終的な答えの算出

与えられた制約の数値を文字式に代入し、消費電力 $P$P を計算します。

$$P = \frac{17 \times (12.6)^2}{20 \times 0.72}$$P=20×0.7217×(12.6)2​

分母と分子をそれぞれ計算します。

• 分母: $20 \times 0.72 = 14.4$20×0.72=14.4
• 分子の電圧の2乗: $(12.6)^2 = 158.76$(12.6)2=158.76

式に値を戻して計算を進めます。

$$P = \frac{17 \times 158.76}{14.4}$$P=14.417×158.76​ $$P = 17 \times 11.025 = 187.425 \, \text{W}$$P=17×11.025=187.425W

したがって、断線後の回路全体で消費される電力は $187.425 \, \text{W}$187.425W です。 入力形式の指示に従い、この値を $1000$1000 倍します。

$$187.425 \times 1000 = 187425$$187.425×1000=187425

最終的な入力値は $187425$187425 となります。